ПаветтаРешение системы линейных уравнений
Систему из двух или трёх линейных уравнений решают тремя способами: подстановкой, по Крамеру через определители и методом Гаусса, приводя матрицу к треугольному виду.
Метод Крамера
Метод Гаусса
Два метода и когда какой
Калькулятор решает систему линейных уравнений с двумя, тремя или четырьмя неизвестными двумя способами и показывает оба: метод Крамера с определителями и метод Гаусса с приведением матрицы к ступенчатому виду. Если система не имеет решений или их бесконечно много, он это распознаёт и объясняет по рангу.
Метод Крамера удобен для проверки и маленьких систем, метод Гаусса — единственный, который масштабируется: на нём считают инженерные расчёты и машинное обучение. В школе спрашивают оба, поэтому шаги расписаны так, чтобы их можно было переписать.
| Метод | Как работает | Когда применять |
|---|---|---|
| Крамера | Каждое неизвестное — отношение двух определителей. | 2–3 неизвестных, ненулевой главный определитель. |
| Гаусса | Уравнения складывают, чтобы получить ступенчатую матрицу, потом идут снизу вверх. | Любой размер, вырожденные системы. |
| Подстановка | Выразить одно неизвестное и подставить в остальные. | Два уравнения, ручной счёт. |
| По рангу | Ранг матрицы против ранга расширенной: равны и равны n — одно решение. | Проверка, есть ли решение вообще. |
История: от китайской доски до метода Гаусса
Системы линейных уравнений решали в Китае в первом веке: восьмая глава «Математики в девяти книгах» посвящена «фанчэн», прямоугольной схеме коэффициентов на счётной доске, которую преобразовывали ровно так, как теперь метод Гаусса. Европа дошла до этого через определители: Сэки Такакадзу в Японии в 1683 году и Лейбниц в 1693-м независимо ввели их, а швейцарец Габриэль Крамер в 1750 году напечатал правило с отношением определителей, носящее его имя.
Гаусс использовал исключение неизвестных в 1810 году, обрабатывая астрономические наблюдения методом наименьших квадратов, и способ получил его имя, хотя ему было две тысячи лет. С появлением компьютеров метод Гаусса стал одним из самых исполняемых алгоритмов в мире: расчёт мостов, прогноз погоды, обучение нейросетей сводятся к системам с миллионами уравнений, и решают их потомки той же схемы с китайской счётной доски.
Как вводить систему и читать шаги
Выберите размер системы, впишите коэффициенты при неизвестных и свободные члены, нажмите «Решить». Ниже появятся оба метода с шагами: определители по Крамеру и преобразования строк по Гауссу. Дробные коэффициенты вводите через косую черту или десятичной дробью; ответ показан и дробью, и десятичным числом.
Если главный определитель равен нулю, метод Крамера не работает, и калькулятор переключается на Гаусса с выводом по рангу: решений нет или их бесконечно много. Операции с самими матрицами, включая обратную и ранг, выполняет калькулятор матриц, а квадратные уравнения решает калькулятор уравнений.
| Неизвестных | 2–4 |
| Методы | Крамера и Гаусса |
| Шаги | показаны |
| Вырожденные системы | по рангу |
| «Девять книг» | I век |
| Определители | Сэки, 1683; Лейбниц, 1693 |
| Правило Крамера | 1750 |
| Гаусс | 1810 |
Как пользоваться
Калькулятор показывает два последних с ходом: считает главный определитель и определители при замене столбцов, а затем те же уравнения решает исключением неизвестных шаг за шагом, как это записывают в тетради. Если главный определитель равен нулю, калькулятор разбирается, что произошло: система несовместна и решений нет либо уравнения зависимы и решений бесконечно много. В конце — проверка подстановкой найденных значений в каждое уравнение. Коэффициенты можно вводить дробями и отрицательными. Проверено 04.09.2026.
- Два уравнения с двумя неизвестными или три с тремя.
- В каждой строке — коэффициенты при x, y, z и свободный член справа от знака равенства. Отсутствующая переменная — ноль.
- Главный определитель и определители Δx, Δy, Δz; решение — их отношение.
- Ход исключения и подстановка ответа в исходные уравнения.
Частые вопросы
Как решать методом Крамера
Составить главный определитель Δ из коэффициентов при неизвестных. Затем для каждой переменной заменить её столбец столбцом свободных членов и посчитать определитель Δx, Δy, Δz. Решение: x = Δx ÷ Δ, y = Δy ÷ Δ, z = Δz ÷ Δ. Работает только при Δ ≠ 0.
Как решать методом Гаусса
Записать расширенную матрицу и прямым ходом обнулить всё под главной диагональю, вычитая из строк кратные верхних. Получается треугольная система: последнее уравнение даёт одну переменную, обратным ходом находятся остальные.
Что значит определитель равен нулю
Уравнения линейно зависимы: одно получается из других. Если и определители при замене столбцов нулевые, решений бесконечно много; если хотя бы один не нулевой, система несовместна и решений нет. Калькулятор различает эти случаи.
Как проверить ответ
Подставить найденные x, y, z в каждое исходное уравнение: левая часть должна совпасть с правой. Калькулятор делает это и показывает невязку.
Можно ли вводить дроби
Да: 1/3, 0,5, −2,25. Ответ показывается десятичным с шестью знаками и, когда получается коротко, обыкновенной дробью.
Что делать с системой 4×4
Здесь только 2×2 и 3×3 — школьные и типовые для первого курса. Для больших систем есть калькулятор матриц: обратная матрица, умноженная на столбец свободных членов, даёт решение.
Спросите нейросети об инструменте
Больше возможностей: Нейросеть для учёбы, задача с разбором, конспект, план курсовой.
Похожие инструменты
Сложение, вычитание и умножение матриц, умножение на число, транспонирование, определитель, обратная матрица и ранг для матриц до 5×5.
ОткрытьРешение уравненийЛинейные и квадратные уравнения с полным ходом: дискриминант, три случая корней, теорема Виета и разложение трёхчлена на множители.
ОткрытьГрафик функцииПостроение графика по формуле: до восьми функций своими цветами, зум и панорамирование, координаты под курсором, нули, экстремумы и пересечения, таблица значений, производная и интеграл, PNG и ссылка.
ОткрытьИнженерный калькуляторСчитает выражение целиком со скобками и приоритетом операций: тригонометрия в градусах и радианах, логарифмы, степени, корни, факториал, память и история.
ОткрытьКалькулятор логарифмовЛогарифм по любому основанию, десятичный, натуральный и двоичный. Показывает смысл: log₂ 8 равен 3, потому что 2³ даёт 8.
ОткрытьКалькулятор степениВозведение в целую, отрицательную и дробную степень с ходом решения: 2⁻³ раскладывается в дробь, 8^(2/3) переходит к корню.
ОткрытьЕщё инструменты для математики
Проценты и пропорции, дроби, степени и корни, логарифмы, НОД и НОК, уравнения, средние и разброс, площади фигур — в разделе 48 инструментов.