ПаветтаКалькулятор матриц
Матрицы складывают поэлементно, умножают «строка на столбец», а обратную находят так, чтобы A × A⁻¹ давало единичную матрицу.
Результат
Восемь действий и их условия
Калькулятор выполняет действия с матрицами до 5 × 5: сложение и вычитание, умножение матриц и умножение на число, транспонирование, определитель, обратную матрицу и ранг. Каждое действие расписано: для определителя — разложение по строке, для обратной — присоединённая матрица или метод Гаусса, для ранга — приведение к ступенчатому виду.
Матрицы — это таблицы чисел с правилами действий, и правила эти неочевидны: умножение не переставляется, A × B и B × A различны, а обратная существует только при ненулевом определителе. Калькулятор проверяет размеры и объясняет, почему действие невозможно, если оно невозможно.
| Действие | Условие | Что получается |
|---|---|---|
| A + B, A − B | Одинаковые размеры | Поэлементно. |
| A × B | Столбцов A столько же, сколько строк B | Строка на столбец, размер m × p. |
| Aᵀ | Любая | Строки становятся столбцами. |
| det A | Квадратная | Число; ноль означает вырожденность. |
| A⁻¹ | Квадратная, det ≠ 0 | A × A⁻¹ = E, единичная матрица. |
| Ранг | Любая | Число независимых строк. |
История: от Сэки до Google
Таблицы коэффициентов для решения систем использовали китайские математики в первом веке, а определители придумали дважды: Сэки Такакадзу в 1683 году и Лейбниц в 1693-м. Само слово «матрица» ввёл Джеймс Сильвестр в 1850 году в значении «то, из чего рождаются определители», а его друг Артур Кэли в 1858 году показал, что матрицы можно складывать, умножать и обращать по своим правилам, то есть они образуют алгебру, и доказал теорему, названную потом теоремой Кэли — Гамильтона.
Полвека матрицы оставались игрой алгебраистов, пока в 1925 году Гейзенберг не обнаружил, что квантовая механика записывается на их языке. Компьютеры сделали матрицы главным объектом вычислений: библиотека LINPACK 1970-х и её наследники решают системы с миллионами неизвестных, трёхмерная графика поворачивает сцены умножением на матрицы 4 × 4, а поисковая выдача Google начиналась с одного огромного собственного вектора матрицы ссылок.
Как вводить матрицы и читать шаги
Задайте размеры матриц, впишите элементы, выберите действие и нажмите «Считать»: результат появится с шагами. Для умножения проверьте, что число столбцов первой матрицы равно числу строк второй, иначе калькулятор откажется и объяснит. Дроби можно вводить через косую черту, ответ показывается точно.
Обратная матрица через определитель удобна для 2 × 2 и 3 × 3, для больших смотрите шаги метода Гаусса. Системы уравнений в матричной записи решает калькулятор систем уравнений, действия с векторами, включая векторное произведение через определитель, — калькулятор векторов.
| Размер | до 5 × 5 |
| Действий | 8 |
| Шаги | показаны |
| Точность | дроби |
| Определители | Сэки и Лейбниц, 1683–1693 |
| Слово «матрица» | Сильвестр, 1850 |
| Алгебра матриц | Кэли, 1858 |
| Квантовая механика | Гейзенберг, 1925 |
Как пользоваться
Калькулятор делает все операции для матриц до 5×5: сложение и вычитание одинаковых размеров, умножение матриц при совпадении числа столбцов первой и строк второй, умножение на число, транспонирование, определитель разложением, обратную матрицу методом Гаусса — Жордана и ранг. Результат выводится матрицей, дробные значения — обыкновенными дробями, когда они короткие. Обратная существует только при ненулевом определителе, и калькулятор об этом скажет. Элементы можно вводить дробями. Проверено 04.09.2026.
- Строки и столбцы для A и B, до 5×5. Для одной матрицы B не нужна.
- Через пробел в строке, строки — с новой строки. Дроби 1/2 и отрицательные принимаются.
- Сложение, вычитание, умножение, умножение на число, транспонирование, определитель, обратная, ранг.
- Матрица с дробями и десятичными; при несовместимых размерах или нулевом определителе — объяснение, почему операция невозможна.
Частые вопросы
Как умножать матрицы
Элемент результата в строке i и столбце j — сумма произведений элементов i-й строки первой матрицы на элементы j-го столбца второй. Умножать можно только когда число столбцов первой равно числу строк второй; результат имеет размер строки первой × столбцы второй. Умножение некоммутативно: A × B и B × A обычно различаются.
Как найти определитель
Для 2×2 — ad − bc. Для больших — разложением по строке или приведением к треугольному виду: определитель равен произведению диагональных элементов с учётом перестановок строк. Калькулятор считает вторым способом, он устойчивее.
Когда обратной матрицы нет
Когда определитель равен нулю: матрица вырожденная, её строки линейно зависимы. Обратная существует только у квадратных невырожденных матриц.
Как считается обратная
Методом Гаусса — Жордана: к A приписывается единичная матрица, и строчными преобразованиями A приводится к единичной — справа оказывается A⁻¹. Проверка: A × A⁻¹ = E, калькулятор её показывает.
Что такое ранг
Число линейно независимых строк, равно числу ненулевых строк после приведения к ступенчатому виду. Ранг нужен для систем: если ранг матрицы коэффициентов меньше числа неизвестных, решение не единственно.
Как решить систему через матрицы
Записать A × X = B и умножить обе части на A⁻¹: X = A⁻¹ × B. Введите A, найдите обратную, затем умножьте её на столбец свободных членов как на матрицу n × 1.
Спросите нейросети об инструменте
Похожие инструменты
Решение систем 2×2 и 3×3 методом Крамера с определителями и методом Гаусса с ходом, проверка подстановкой, случаи без решений и с бесконечным числом.
ОткрытьКалькулятор векторовДлина, сумма и разность, скалярное и векторное произведение, угол, проекция, площадь параллелограмма и треугольника, смешанное произведение и объём; ввод координатами или по точкам, формулы и чертёж.
ОткрытьТаблица степенейОснования от 2 до 10 с показателями до 12, степени двойки до 2^64 с байтами, степени десяти с названиями, своё основание и точный расчёт без округления.
ОткрытьТаблица кубовКубы чисел от 0 до 999, поиск куба и кубического корня, подсветка, список 1–100 и печать.
ОткрытьПрямоугольный треугольникГипотенуза, катеты, углы, площадь и радиусы по любым двум величинам. С чертежом и решением по шагам.
ОткрытьДеление в столбикДеление уголком с каждым шагом: целые и с остатком, десятичные до нужного знака, проверка умножением. Запись как в тетради.
ОткрытьЕщё инструменты для математики
Проценты и пропорции, дроби, степени и корни, логарифмы, НОД и НОК, уравнения, средние и разброс, площади фигур — в разделе 48 инструментов.