Калькулятор степени

Проще всего увидеть это на лесенке вниз. 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2: каждый шаг влево делит результат пополам. Следующий шаг приводит к 2⁰ = 2 / 2 = 1. То же самое даёт правило деления степеней: aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, и при равных показателях слева стоит число, делённое само на себя, а справа — a⁰. Единица получается при любом основании, кроме нуля: 5⁰ = 1, 100⁰ = 1, (−7)⁰ = 1, 0,25⁰ = 1.

Переворот числа в дробь. a⁻ⁿ = 1 / aⁿ, и лесенка та же самая: 2¹ = 2, 2⁰ = 1, дальше 2⁻¹ = 0,5, 2⁻² = 0,25, 2⁻³ = 0,125. Показатель со знаком минус ничего не делает отрицательным: 2⁻³ равно 0,125, число положительное. Минус в ответе появляется только от отрицательного основания: (−2)⁻³ = 1 / (−8) = −0,125.

Корень. a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ): знаменатель показателя задаёт степень корня, числитель остаётся степенью подкоренного числа. Отсюда 8^(2/3) = ∛(8²) = ∛64 = 4 и 16^(1/2) = √16 = 4. Порядок действий можно менять местами, ответ один: сначала корень, потом степень — ∛8 = 2, 2² = 4. Второй путь удобнее в уме, потому что числа под корнем остаются маленькими. Считать корни отдельно умеет извлечь корень.

Значения у 0⁰ нет. Спор упирается в два правила, которые тянут в разные стороны: ноль в любой положительной степени даёт ноль, любое число в нулевой степени даёт единицу. Договориться об одном ответе для 0⁰ так, чтобы обе линии сошлись, невозможно, поэтому школьная математика оставляет запись неопределённой. В комбинаторике и в записи многочленов по договорённости берут 0⁰ = 1, там это удобно для формул. Калькулятор в этом месте показывает пометку и объяснение.

Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому числа, которое при возведении в квадрат даёт −8, среди действительных нет. Но запрет шире одной второй: степень с дробным показателем определена только для неотрицательного основания. Причина в том, что дробь можно записать по-разному. Показатели 1/3 и 2/6 равны, а вычисления по ним для основания −8 расходятся: в первом случае получился бы −2, во втором пришлось бы сначала возвести −8 в квадрат и извлечь корень шестой степени, что даёт +2. Чтобы такой развилки не было, дробные показатели закреплены за основаниями от нуля и выше. Кубический корень из отрицательного числа при этом существует и записывается корнем: ∛(−8) = −2.

Знаком. Возведение в степень выполняется раньше смены знака, поэтому −2⁴ читается как −(2⁴) = −16. В записи (−2)⁴ минус попал внутрь скобок и участвует в умножении: (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = 16. Общее правило простое: отрицательное основание в чётной степени даёт плюс, в нечётной — минус. Калькулятор берёт содержимое поля целиком, поэтому −2 в поле основания означает именно (−2)⁴.

Через десятку. Степень десятки — это просто нули: 10⁶ = 1 000 000, 10⁻³ = 0,001, и таблица ниже переводит запись в число и в привычное слово вроде «миллион». На этом стоит научная запись: 3,2 · 10⁸ означает 320 000 000. Калькулятор сам переходит к такой форме, когда результат перестаёт помещаться в пятнадцать знаков. Все расчёты идут в браузере, введённые числа никуда не отправляются.