Решение уравнений

По формуле D = b² − 4ac, где a, b и c берутся со своими знаками. Для x² − 5x + 6 = 0 подстановка даёт (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1. Главная ошибка здесь — потерять минус: b равен минус пяти, а в квадрат возводится всё число вместе со знаком, поэтому получается +25. Второй частый промах — знак у c: если свободный член отрицательный, то −4ac превращается в плюс, и дискриминант растёт. У x² − x − 6 = 0 выходит 1 + 24 = 25.

Дискриминант стоит под корнем, поэтому от его знака зависит, сколько корней получится. При D больше нуля корень извлекается, перед ним стоит ± — и корней выходит два: у x² − 5x + 6 = 0 это 2 и 3. При D равном нулю прибавлять и вычитать нечего, оба корня совпадают, и остаётся один: у x² − 4x + 4 = 0 это x = 2, его называют двойным или кратным. При D меньше нуля извлечь квадратный корень из отрицательного числа среди действительных чисел невозможно, поэтому действительных корней нет: так устроено x² + x + 1 = 0 с дискриминантом −3. На графике это видно ещё нагляднее: парабола пересекает ось x дважды, касается её в одной точке или проходит мимо.

Записать ответ «действительных корней нет» и на этом остановиться. Ошибка в вычислениях тут возможна, поэтому дискриминант стоит пересчитать: чаще всего минус появляется из-за потерянного знака у b или c. Если пересчёт даёт тот же результат, отрицательный дискриминант и есть верный ответ, такие уравнения встречаются в учебниках специально. Корни у такого уравнения существуют среди комплексных чисел, но их разбирают позже школьного курса алгебры.

Сложить корни и перемножить их. По теореме Виета сумма корней равна −b/a, произведение равно c/a. Для x² − 5x + 6 = 0 проверка занимает секунду: 2 + 3 = 5, это −b/a, и 2 · 3 = 6, это c/a. У приведённого уравнения, где a = 1, формулы становятся совсем короткими: сумма равна −b, произведение равно c. Обратный ход тоже работает: для x² − 5x + 6 можно подобрать два числа с суммой 5 и произведением 6, и корни найдутся вообще без дискриминанта. Калькулятор считает обе величины и показывает их под ответом.

Уравнение перестаёт быть квадратным. Слагаемое с x² исчезает, остаётся линейное bx + c = 0, и дискриминант тут уже ни при чём. Калькулятор ловит этот случай сам и переключается на линейное решение. У линейного уравнения ax + b = 0 есть два вырожденных варианта, на которых теряют баллы. Когда a = 0 и b = 0, остаётся равенство 0 = 0, оно верно при любом x, и корень — любое число. Когда a = 0, а b отличен от нуля, остаётся, например, 5 = 0 — такого не бывает ни при каком x, и корней нет. В остальных случаях ответ один: x = −b/a.

Через корни: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Сначала находятся корни, потом они подставляются в скобки с обратным знаком. Трёхчлен x² − 5x + 6 с корнями 2 и 3 превращается в (x − 2)(x − 3). Если корень отрицательный, знак в скобке меняется на плюс: у x² + 3x + 2 корни −1 и −2, разложение выходит (x + 1)(x + 2). При D = 0 скобка одна и стоит в квадрате: x² − 4x + 4 = (x − 2)². При D меньше нуля на множители с действительными коэффициентами трёхчлен не раскладывается. Коэффициент a выносится вперёд: 2x² − 8 = 2(x + 2)(x − 2).

Быстрее, чем через дискриминант. Когда c = 0, выносится x за скобку: x² − 5x = 0 превращается в x(x − 5) = 0, произведение равно нулю при x = 0 или x = 5. Когда b = 0, свободный член переносится вправо: x² − 9 = 0 даёт x² = 9 и два корня, 3 и −3. Здесь легко потерять второй корень, забыв про знак минус. Если же после переноса справа осталось отрицательное число, как в x² + 4 = 0, корней нет. Дискриминант для таких уравнений тоже работает и даёт тот же ответ, просто дольше.