Главная›Инструменты›Решение уравнений

Решение уравнений

Калькулятор показывает весь путь до ответа: выписывает коэффициенты, считает дискриминант с подстановкой чисел в формулу, достаёт корни, проверяет их по теореме Виета и раскладывает трёхчлен на множители. Ответ можно списать, но рядом лежит объяснение, откуда он взялся. Отдельно разобраны места, где школьники спотыкаются чаще всего. Первое — минус перед коэффициентом: у уравнения x² − 5x + 6 = 0 коэффициент b равен минус пяти, и в формулу дискриминанта он идёт вместе со знаком, поэтому (−5)² даёт 25. Второе — вырожденные случаи. При a = 0 квадратное уравнение превращается в линейное, а линейное при a = 0 и b = 0 обращается в равенство 0 = 0, которому подходит любое число. Третье — корни, которые не извлекаются нацело: они выводятся и точной записью вида (−3 ± √5) / 2, и десятичной дробью.

—

a — при x²

b — при x

c — свободный член

Корни

—

Дискриминант—

Сумма корней—

Произведение—

Разложение—

Ход решения

Три случая дискриминанта

Одни и те же действия дают разное число корней, и решает это знак дискриминанта. В таблице собраны уравнения из школьных задачников: первое даёт два целых корня, второе — целый и дробный, третье и четвёртое — один двойной, пятое обходится без действительных корней. Последние два показывают корни, которые не извлекаются нацело: калькулятор пишет их точной записью с корнем и десятичной дробью рядом.

Уравнение	D	Случай	Корни
x² − 5x + 6 = 0	1	D > 0	2 и 3
2x² − 7x + 3 = 0	25	D > 0	0,5 и 3
x² − 4x + 4 = 0	0	D = 0	x = 2, корень двойной
3x² + 6x + 3 = 0	0	D = 0	x = −1, корень двойной
x² + x + 1 = 0	−3	D < 0	действительных корней нет
x² − 2 = 0	8	D > 0	≈ −1,414 и ≈ 1,414
x² + 3x + 1 = 0	5	D > 0	≈ −2,618 и ≈ −0,382

Когда квадратное уравнение оказывается линейным

Коэффициент a обязан отличаться от нуля — иначе слагаемое с x² пропадает и уравнение спускается на ступень ниже. В задачах с параметром это отдельный подводный камень: условие вида (m − 2)x² + 3x + 1 = 0 при m = 2 превращается в обычное линейное 3x + 1 = 0 с единственным корнем, и разбирать его через дискриминант бессмысленно. Калькулятор ловит такой случай сам: стоит поставить a = 0, и он переключается на линейное решение.

У линейного уравнения ax + b = 0 своих две ловушки. При a = 0 и b = 0 остаётся равенство 0 = 0 — оно верно при любом x, поэтому корнем является любое число. При a = 0 и ненулевом b остаётся неверное равенство вида 5 = 0, и корней нет вовсе. Оба варианта в калькуляторе подписаны словами, чтобы их было видно.

Неполные квадратные уравнения

Когда один из коэффициентов b или c равен нулю, дискриминант можно не считать. При c = 0 общий множитель x выносится за скобку: x² − 5x = 0 превращается в x(x − 5) = 0, а произведение обращается в ноль тогда, когда ноль даёт один из множителей, — отсюда корни 0 и 5. При b = 0 свободный член переносится вправо: x² − 9 = 0 даёт x² = 9 и сразу два корня, 3 и −3. Второй корень здесь теряют чаще всего. Если справа после переноса оказалось отрицательное число, как в x² + 4 = 0, действительных корней нет.

Проверить арифметику по дороге помогут калькулятор дробей и тренажёр таблицы умножения. Все расчёты идут прямо в браузере, введённые коэффициенты никуда не отправляются.

Как пользоваться

Квадратное ax² + bx + c = 0 или линейное ax + b = 0.
У x² − 5x + 6 это a = 1, b = −5, c = 6. Дробные значения тоже подойдут: 0,5 или 1/2 записывается как 0,5.
Под ответом лежат дискриминант с подстановкой, разбор случая, проверка по Виету и разложение на множители.

Частые вопросы

Как найти дискриминант квадратного уравнения

По формуле D = b² − 4ac, где a, b и c берутся со своими знаками. Для x² − 5x + 6 = 0 подстановка даёт (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1. Главная ошибка здесь — потерять минус: b равен минус пяти, а в квадрат возводится всё число вместе со знаком, поэтому получается +25. Второй частый промах — знак у c: если свободный член отрицательный, то −4ac превращается в плюс, и дискриминант растёт. У x² − x − 6 = 0 выходит 1 + 24 = 25.

Что означают три случая дискриминанта

Дискриминант стоит под корнем, поэтому от его знака зависит, сколько корней получится. При D больше нуля корень извлекается, перед ним стоит ± — и корней выходит два: у x² − 5x + 6 = 0 это 2 и 3. При D равном нулю прибавлять и вычитать нечего, оба корня совпадают, и остаётся один: у x² − 4x + 4 = 0 это x = 2, его называют двойным или кратным. При D меньше нуля извлечь квадратный корень из отрицательного числа среди действительных чисел невозможно, поэтому действительных корней нет: так устроено x² + x + 1 = 0 с дискриминантом −3. На графике это видно ещё нагляднее: парабола пересекает ось x дважды, касается её в одной точке или проходит мимо.

Что делать, если дискриминант отрицательный

Записать ответ «действительных корней нет» и на этом остановиться. Ошибка в вычислениях тут возможна, поэтому дискриминант стоит пересчитать: чаще всего минус появляется из-за потерянного знака у b или c. Если пересчёт даёт тот же результат, отрицательный дискриминант и есть верный ответ, такие уравнения встречаются в учебниках специально. Корни у такого уравнения существуют среди комплексных чисел, но их разбирают позже школьного курса алгебры.

Как проверить корни по теореме Виета

Сложить корни и перемножить их. По теореме Виета сумма корней равна −b/a, произведение равно c/a. Для x² − 5x + 6 = 0 проверка занимает секунду: 2 + 3 = 5, это −b/a, и 2 · 3 = 6, это c/a. У приведённого уравнения, где a = 1, формулы становятся совсем короткими: сумма равна −b, произведение равно c. Обратный ход тоже работает: для x² − 5x + 6 можно подобрать два числа с суммой 5 и произведением 6, и корни найдутся вообще без дискриминанта. Калькулятор считает обе величины и показывает их под ответом.

Что будет, если коэффициент a равен нулю

Уравнение перестаёт быть квадратным. Слагаемое с x² исчезает, остаётся линейное bx + c = 0, и дискриминант тут уже ни при чём. Калькулятор ловит этот случай сам и переключается на линейное решение. У линейного уравнения ax + b = 0 есть два вырожденных варианта, на которых теряют баллы. Когда a = 0 и b = 0, остаётся равенство 0 = 0, оно верно при любом x, и корнем является любое число. Когда a = 0, а b отличен от нуля, остаётся, например, 5 = 0 — такого не бывает ни при каком x, и корней нет. В остальных случаях ответ один: x = −b/a.

Как разложить квадратный трёхчлен на множители

Через корни: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Сначала находятся корни, потом они подставляются в скобки с обратным знаком. Трёхчлен x² − 5x + 6 с корнями 2 и 3 превращается в (x − 2)(x − 3). Если корень отрицательный, знак в скобке меняется на плюс: у x² + 3x + 2 корни −1 и −2, разложение выходит (x + 1)(x + 2). При D = 0 скобка одна и стоит в квадрате: x² − 4x + 4 = (x − 2)². При D меньше нуля на множители с действительными коэффициентами трёхчлен не раскладывается. Коэффициент a выносится вперёд: 2x² − 8 = 2(x + 2)(x − 2).

Как решать неполные квадратные уравнения

Быстрее, чем через дискриминант. Когда c = 0, выносится x за скобку: x² − 5x = 0 превращается в x(x − 5) = 0, произведение равно нулю при x = 0 или x = 5. Когда b = 0, свободный член переносится вправо: x² − 9 = 0 даёт x² = 9 и два корня, 3 и −3. Здесь легко потерять второй корень, забыв про знак минус. Если же после переноса справа осталось отрицательное число, как в x² + 4 = 0, корней нет. Дискриминант для таких уравнений тоже работает и даёт тот же ответ, просто дольше.

Ещё инструменты для SEO и маркетинга

Кластеризатор запросов, генераторы sitemap и robots.txt, минус-слова, разметка Schema.org и калькуляторы — в разделе инструментов.

Все инструменты Семантическое ядро