ПаветтаКалькулятор логарифмов
Логарифм — это вопрос о степени. Запись log₂ 8 читается так: в какую степень возвести двойку, чтобы получилась восьмёрка.
Логарифм словами
Возведение в степень, извлечение корня и логарифм — три взгляда на одно равенство 2³ = 8. Степень отвечает на вопрос «что получится, если двойку умножить саму на себя три раза». Корень спрашивает про основание: «какое число в третьей степени даёт восемь». Логарифм спрашивает про показатель: «в какую степень возвести двойку, чтобы вышла восьмёрка». Ответ на третий вопрос и записывают как log₂ 8 = 3.
Отсюда простое правило чтения. Внизу у знака log стоит основание — то, что возводят в степень. Дальше идёт число, которое хотят получить. Результат — сама степень. Поэтому логарифм редко бывает похож на исходные числа по величине: log₂ 1024 равен всего десяти, хотя под знаком стоит тысяча с лишним. Логарифм измеряет количество удвоений, и в этом его смысл.
Когда логарифма не существует
Ограничений три, и каждое растёт из одного факта: степень положительного основания остаётся положительной. Первое ограничение — число под логарифмом строго больше нуля. Двойка в большой отрицательной степени становится крошечной, 2⁻²⁰ = 0,00000095367431640625, но нуля не достигает и знак не меняет. Значит, log₂ 0 и log₂ (−8) подобрать нельзя, такой степени просто нет.
Второе ограничение — основание больше нуля. У отрицательного основания степени скачут по знаку: (−2)² = 4, (−2)³ = −8. Промежуточные дробные показатели вроде степени 0,5 требуют корня из отрицательного числа и за пределы школьной арифметики выводят, так что непрерывной функции не получается. Третье ограничение — основание не равно единице: единица в любой степени остаётся единицей, и никакой показатель не превратит её в восьмёрку. Калькулятор проверяет все три условия по очереди и в каждом случае называет причину, поэтому вместо загадочного NaN на экране появляется объяснение.
Формула перехода к новому основанию
Готовой функции для произвольного основания в браузерной арифметике нет: есть натуральный логарифм и десятичный. Выручает формула перехода — loga x = ln x ÷ ln a. Логарифм сверху и снизу берётся один и тот же, натуральный или десятичный, и результат от этого выбора не меняется.
На примере log₅ 125 это выглядит так. Натуральный логарифм 125 равен 4,828314, натуральный логарифм 5 равен 1,609438, их частное — ровно 3. Проверка сходится: 5³ = 125. Через десятичные логарифмы вышло бы то же самое: lg 125 = 2,096910, lg 5 = 0,698970, частное снова 3. Именно этой формулой считает калькулятор, а строка «Числами» в панели результата показывает оба логарифма, которые он поделил.
Степени двойки и их логарифмы
Самая полезная таблица школьного курса. Двоичный логарифм степени двойки равен её показателю, и это видно построчно: log₂ 1024 = 10, потому что 1024 — это десять удвоений единицы. Десятичный и натуральный логарифмы тех же чисел растут равномерно, шагом 0,301030 и 0,693147, потому что каждая новая строка умножает число на два.
| Степень | Число | log₂ | lg | ln |
|---|---|---|---|---|
| 2⁰ | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 2¹ | 2 | 1 | 0,30103 | 0,693147 |
| 2² | 4 | 2 | 0,60206 | 1,386294 |
| 2³ | 8 | 3 | 0,90309 | 2,079442 |
| 2⁴ | 16 | 4 | 1,20412 | 2,772589 |
| 2⁵ | 32 | 5 | 1,50515 | 3,465736 |
| 2⁶ | 64 | 6 | 1,80618 | 4,158883 |
| 2⁷ | 128 | 7 | 2,10721 | 4,85203 |
| 2⁸ | 256 | 8 | 2,40824 | 5,545177 |
| 2⁹ | 512 | 9 | 2,70927 | 6,238325 |
| 2¹⁰ | 1024 | 10 | 3,0103 | 6,931472 |
| 2¹¹ | 2048 | 11 | 3,31133 | 7,624619 |
| 2¹² | 4096 | 12 | 3,61236 | 8,317766 |
| 2¹³ | 8192 | 13 | 3,91339 | 9,010913 |
| 2¹⁴ | 16384 | 14 | 4,21442 | 9,704061 |
| 2¹⁵ | 32768 | 15 | 4,51545 | 10,397208 |
| 2¹⁶ | 65536 | 16 | 4,81648 | 11,090355 |
Логарифмы ходовых чисел
Три логарифма одного и того же числа отличаются множителем: чтобы перейти от натурального к десятичному, достаточно поделить на 2,302585, то есть на ln 10. Первая строка объясняет, почему логарифм единицы всегда ноль при любом основании: любое число в нулевой степени равно единице.
| Число | lg | ln | log₂ |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 0,30103 | 0,693147 | 1 |
| 3 | 0,477121 | 1,098612 | 1,584963 |
| e | 0,434294 | 1 | 1,442695 |
| 5 | 0,69897 | 1,609438 | 2,321928 |
| 7 | 0,845098 | 1,94591 | 2,807355 |
| 10 | 1 | 2,302585 | 3,321928 |
| 16 | 1,20412 | 2,772589 | 4 |
| 100 | 2 | 4,60517 | 6,643856 |
| 1000 | 3 | 6,907755 | 9,965784 |
| 1 000 000 | 6 | 13,815511 | 19,931569 |
Что рядом
Для дробей и действий с ними пригодится калькулятор дробей, для отношений и масштабов — калькулятор пропорций. Двоичный логарифм тесно связан с разрядами числа, поэтому рядом полезен перевод систем счисления, а доли и проценты считает калькулятор процентов. Все вычисления идут в браузере, введённые числа никуда не отправляются.
Что такое логарифм и примеры
Логарифм отвечает на вопрос о степени: log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8. Калькулятор считает логарифм по любому основанию, десятичный и натуральный, а также решает обратные задачи: найти число по логарифму и основание по числу и логарифму. Каждый ответ сопровождается словесной расшифровкой и проверкой возведением в степень.
Рядом объяснены случаи, когда логарифма не существует: отрицательное число или ноль под логарифмом, основание единица или отрицательное. Формула перехода к новому основанию и таблица степеней двойки с логарифмами помогают решать задачи без калькулятора.
| Запись | Вопрос | Ответ |
|---|---|---|
| log₂ 8 | В какую степень возвести 2, чтобы получить 8? | 3 |
| lg 1000 | Десятичный: 10 в какой степени даёт 1000? | 3 |
| ln e² | Натуральный: основание e ≈ 2,718. | 2 |
| log₅ 1 | Любое основание в нулевой степени. | 0 |
| log₃ 10 | Не целое: между 2 и 3. | ≈2,096 |
История: Непер, Бриггс и линейка
Логарифмы придумали, чтобы умножать сложением: Джон Непер двадцать лет считал таблицы и в 1614 году выпустил «Описание удивительной таблицы логарифмов», а швейцарец Йост Бюрги независимо построил свои таблицы, но опоздал с публикацией до 1620 года. Английский профессор Генри Бриггс съездил к Неперу, предложил взять за основание десять и к 1624 году вычислил десятичные логарифмы 30 тысяч чисел с четырнадцатью знаками. Кеплер благодаря им рассчитал орбиты планет, и говорили, что логарифмы удвоили жизнь астрономов.
В 1622 году Уильям Отред нанёс логарифмическую шкалу на две линейки, и логарифмическая линейка триста лет была главным инструментом инженера, вплоть до карманных калькуляторов 1970-х. Натуральный логарифм с основанием e ввёл в обиход Эйлер в XVIII веке, и он оказался языком роста и распада: от процентов по вкладу до радиоуглеродной датировки. В российской школе логарифмы считали по «Четырёхзначным таблицам» Брадиса 1921 года, которыми пользовались до 1990-х.
Тонкости расчёта и что считать рядом
Введите основание и число, оставив пустым искомое: калькулятор найдёт логарифм, число или основание и покажет проверку. Для десятичного логарифма основание 10, для натурального e, и кнопки подставляют их сами. Ответ читайте словами: «log₃ 10 ≈ 2,096» значит, что 3 в степени 2,096 даёт 10.
В задачах с разными основаниями пользуйтесь формулой перехода: log_a b = ln b / ln a, она показана под калькулятором. Степени для проверки считает калькулятор степени, а старые четырёхзначные таблицы с логарифмами лежат в таблице Брадиса.
| Основание | любое, 10, e |
| Обратные задачи | число и основание |
| Проверка | возведением в степень |
| Непер | 1614 |
| Бюрги | 1620 |
| Десятичные, Бриггс | 1624 |
| Логарифмическая линейка | Отред, 1622 |
| Таблицы Брадиса | 1921 |
Что показывает расчёт
Логарифм — это вопрос о степени. Запись log₂ 8 читается так: в какую степень возвести двойку, чтобы получилась восьмёрка. Ответ 3, потому что 2³ = 8. Калькулятор показывает обе половины ответа: и само число, и степень в работе, поэтому результат видно глазами и можно проверить умножением. Считаются четыре вида логарифма: по любому основанию, десятичный lg с основанием 10, натуральный ln с основанием e и двоичный log₂. Вторая вкладка решает обратную задачу — по основанию и логарифму находит само число. Запрещённые случаи разбираются словами: под логарифмом стоит строго положительное число, основание положительно и отличается от единицы. Вместо NaN на экран выходит причина.
Как пользоваться
Считаются четыре вида логарифма: по любому основанию, десятичный lg с основанием 10, натуральный ln с основанием e и двоичный log₂. Вторая вкладка решает обратную задачу — по основанию и логарифму находит само число. Запрещённые случаи разбираются словами: под логарифмом стоит строго положительное число, основание положительно и отличается от единицы. Вместо NaN на экран выходит причина.
- Быстрые кнопки ставят основание 2, 10, e или 5. В поле основания можно вписать любое своё число.
- Дробное пишется через запятую. Букву e поле понимает как 2,718281828.
- Под ответом стоит проверка: основание в найденной степени даёт исходное число.
Частые вопросы
Что показывает логарифм
Степень. Логарифм числа по основанию — это показатель, в который возводят основание, чтобы получить это число. Запись log₂ 8 = 3 означает ровно одно равенство: 2³ = 8. Поэтому логарифм и возведение в степень ходят парой и проверяют друг друга. Если log₅ 125 = 3, то 5³ = 125; если lg 1000 = 3, то 10³ = 1000. Калькулятор печатает обе записи рядом, чтобы связь была видна.
Чем отличаются lg, ln и log₂
Только основанием. У десятичного логарифма lg основание 10, и он удобен там, где величины растут разрядами: децибелы, шкала магнитуд землетрясений, водородный показатель pH. У натурального логарифма ln основание e ≈ 2,718281828, и он появляется в задачах на непрерывный рост и в производных. У двоичного log₂ основание 2, он считает, сколько раз число можно поделить пополам, отсюда его любят информатика и оценка алгоритмов. Внутри калькулятора все три считаются одной и той же формулой перехода.
Почему под логарифмом не бывает нуля и отрицательных чисел
Потому что степени положительного основания всегда положительны. Двойка в любой степени остаётся больше нуля: 2³ = 8, 2⁰ = 1, 2⁻¹⁰ = 0,0009765625 — маленькое число, но всё ещё положительное. Ноль недостижим: чем меньше показатель, тем ближе результат подбирается к нулю, равным ему он не становится никогда. Минус недостижим тем более. Поэтому у логарифма нуля и логарифма отрицательного числа ответа нет, и калькулятор в этом месте пишет «не определено» вместе с причиной.
Почему основание не может равняться единице
Единица в любой степени остаётся единицей: 1² = 1, 1¹⁰⁰ = 1, 1⁰ = 1. Никакой показатель не превратит её в восьмёрку, так что log₁ 8 подобрать нельзя. С числом 1 под логарифмом другая беда: подходит любой показатель сразу, потому что 1 получается из единицы всегда. Единственное значение теряется в обоих случаях, поэтому основание 1 из правил исключено. Отрицательное основание запрещено по схожей причине: у него степени скачут по знаку, а дробные показатели вроде корня из минус двойки выводят за пределы обычных чисел.
Как посчитать логарифм по основанию, которого нет на калькуляторе
Формулой перехода к новому основанию: log_a x = ln x ÷ ln a. Логарифм сверху и снизу берётся любой один и тот же, натуральный или десятичный, результат от этого выбора не зависит. Пример: log₅ 125 = ln 125 ÷ ln 5 = 4,828314 ÷ 1,609438 = 3. Тем же приёмом работает калькулятор: браузерная арифметика умеет натуральный логарифм, а произвольное основание получается делением.
Как проверить ответ без калькулятора
Возвести основание в полученную степень. Если log₃ 81 = 4, то 3⁴ = 3·3·3·3 = 81, значит ответ верный. Целые логарифмы школьных примеров проверяются устно за пару умножений. Дробный ответ так не проверить, зато его легко зажать между соседними целыми: log₂ 10 лежит между 3 и 4, потому что 2³ = 8 меньше десятки, а 2⁴ = 16 уже больше. Точное значение 3,321928 в этот промежуток попадает.
Где логарифмы встречаются кроме учебника
Там, где величины удобнее мерить разами. Громкость в децибелах — это десятичный логарифм отношения мощностей, умноженный на десять, поэтому рост на 10 дБ означает мощность в десять раз больше. Магнитуда землетрясения устроена похоже: разница в единицу — это амплитуда колебаний в десять раз сильнее. Показатель pH равен десятичному логарифму концентрации ионов водорода со знаком минус. В информатике двоичный логарифм считает шаги поиска делением пополам: чтобы найти нужное среди тысячи упорядоченных значений, хватает примерно десяти шагов, потому что 2¹⁰ = 1024.
Спросите нейросети об инструменте
Больше возможностей: Нейросеть для учёбы, задача с разбором, конспект, план курсовой.
Похожие инструменты
Выражения со скобками и смешанными числами, точная арифметика и решение по действиям как в тетради.
ОткрытьКалькулятор пропорцийПравило трёх с любым неизвестным, масштаб чертежа, деление величины в отношении и упрощение до целых: 1920:1080 сводится к 16:9.
ОткрытьПеревод систем счисленияДвоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная плюс любое основание от 2 до 36. Дробная часть и проверка недопустимых цифр.
ОткрытьКалькулятор процентовПять режимов: процент от числа, доля в процентах, наценка и скидка, изменение «было и стало», сложный процент с таблицей по годам. Под ответом видна формула.
ОткрытьКалькулятор степениВозведение в целую, отрицательную и дробную степень с ходом решения: 2⁻³ раскладывается в дробь, 8^(2/3) переходит к корню.
ОткрытьТаблица БрадисаСинусы, косинусы, тангенсы и котангенсы от 0° до 90° с шагом 6′ и поправками на минуты, значение по углу, угол по значению, печать.
ОткрытьЕщё инструменты для математики
Проценты и пропорции, дроби, степени и корни, логарифмы, НОД и НОК, уравнения, средние и разброс, площади фигур — в разделе 48 инструментов.