Калькулятор логарифмов

Логарифм словами

Возведение в степень, извлечение корня и логарифм — три взгляда на одно равенство 2³ = 8. Степень отвечает на вопрос «что получится, если двойку умножить саму на себя три раза». Корень спрашивает про основание: «какое число в третьей степени даёт восемь». Логарифм спрашивает про показатель: «в какую степень возвести двойку, чтобы вышла восьмёрка». Ответ на третий вопрос и записывают как log₂ 8 = 3.

Отсюда простое правило чтения. Внизу у знака log стоит основание — то, что возводят в степень. Дальше идёт число, которое хотят получить. Результат — сама степень. Поэтому логарифм редко бывает похож на исходные числа по величине: log₂ 1024 равен всего десяти, хотя под знаком стоит тысяча с лишним. Логарифм измеряет количество удвоений, и в этом его смысл.

Когда логарифма не существует

Ограничений три, и каждое растёт из одного факта: степень положительного основания остаётся положительной. Первое ограничение — число под логарифмом строго больше нуля. Двойка в большой отрицательной степени становится крошечной, 2⁻²⁰ = 0,00000095367431640625, но нуля не достигает и знак не меняет. Значит, log₂ 0 и log₂ (−8) подобрать нельзя, такой степени просто нет.

Второе ограничение — основание больше нуля. У отрицательного основания степени скачут по знаку: (−2)² = 4, (−2)³ = −8. Промежуточные дробные показатели вроде степени 0,5 требуют корня из отрицательного числа и за пределы школьной арифметики выводят, так что непрерывной функции не получается. Третье ограничение — основание не равно единице: единица в любой степени остаётся единицей, и никакой показатель не превратит её в восьмёрку. Калькулятор проверяет все три условия по очереди и в каждом случае называет причину, поэтому вместо загадочного NaN на экране появляется объяснение.

Формула перехода к новому основанию

Готовой функции для произвольного основания в браузерной арифметике нет: есть натуральный логарифм и десятичный. Выручает формула перехода — log_a x = ln x ÷ ln a. Логарифм сверху и снизу берётся один и тот же, натуральный или десятичный, и результат от этого выбора не меняется.

На примере log₅ 125 это выглядит так. Натуральный логарифм 125 равен 4,828314, натуральный логарифм 5 равен 1,609438, их частное — ровно 3. Проверка сходится: 5³ = 125. Через десятичные логарифмы вышло бы то же самое: lg 125 = 2,096910, lg 5 = 0,698970, частное снова 3. Именно этой формулой считает калькулятор, а строка «Числами» в панели результата показывает оба логарифма, которые он поделил.

Степени двойки и их логарифмы

Самая полезная таблица школьного курса. Двоичный логарифм степени двойки равен её показателю, и это видно построчно: log₂ 1024 = 10, потому что 1024 — это десять удвоений единицы. Десятичный и натуральный логарифмы тех же чисел растут равномерно, шагом 0,301030 и 0,693147, потому что каждая новая строка умножает число на два.

Логарифмы ходовых чисел

Три логарифма одного и того же числа отличаются множителем: чтобы перейти от натурального к десятичному, достаточно поделить на 2,302585, то есть на ln 10. Первая строка объясняет, почему логарифм единицы всегда ноль при любом основании: любое число в нулевой степени равно единице.

Что рядом

Для дробей и действий с ними пригодится калькулятор дробей, для отношений и масштабов — калькулятор пропорций. Двоичный логарифм тесно связан с разрядами числа, поэтому рядом полезен перевод систем счисления, а доли и проценты считает калькулятор процентов. Все вычисления идут в браузере, введённые числа никуда не отправляются.