ПаветтаРазложение на простые множители
Любое натуральное число больше единицы раскладывается на простые множители единственным образом — это основная теорема арифметики, и на ней держится всё от сокращения дробей до НОД.
Все делители
Что показывает разложение
Калькулятор раскладывает число на простые множители, записывает результат со степенями, перечисляет все делители числа и их количество, сумму делителей и говорит, простое ли число. Для чисел до 10¹⁵ ответ появляется мгновенно, потому что перебор идёт только по простым до корня из числа.
Разложение нужно для сокращения дробей, поиска НОД и НОК, проверки делимости и школьных задач, а в большой математике оно неожиданно оказалось самым трудным делом: перемножить два простых числа легко, а восстановить их из произведения так сложно, что на этом стоит защита банковских карт и мессенджеров.
| Число | Разложение | Делителей | Сумма делителей |
|---|---|---|---|
| 360 | 2³ · 3² · 5 | 24 | 1 170 |
| 1 001 | 7 · 11 · 13 | 8 | 1 344 |
| 1 024 | 2¹⁰ | 11 | 2 047 |
| 2 025 | 3⁴ · 5² | 15 | 3 751 |
| 65 537 | простое | 2 | 65 538 |
История: от решета до RSA
Что каждое число раскладывается на простые единственным образом, знали ещё греки: у Евклида это следует из седьмой и девятой книг «Начал», а Эратосфен около 240 года до нашей эры придумал решето, вычёркивание кратных, чтобы найти все простые до заданного предела. Строго теорему о единственности разложения доказал Гаусс в «Арифметических исследованиях» 1801 года, и с тех пор её зовут основной теоремой арифметики.
Способы разложения искали веками: Ферма в 1643 году предложил представлять число разностью квадратов, Эйлер раскладывал числа Ферма, а в XX веке появились методы Полларда, квадратичное решето и решето числового поля. В 1977 году Ривест, Шамир и Адлеман построили на трудности разложения шифр RSA, и разложение стало соревнованием: число из 250 десятичных цифр разложили в 2020 году за две тысячи лет процессорного времени. Числа, с которыми работает этот калькулятор, для таких методов детские: перебор до корня справляется мгновенно.
Как читать результат
Введите число и получите разложение, список делителей и признаки: простое ли, сколько делителей, чему равна их сумма. Разложение записано со степенями, как принято в школе: 360 = 2³ · 3² · 5. По списку делителей удобно решать задачи «на сколько частей можно разделить поровну».
Число делителей считается по показателям степеней: у 360 это (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24, и калькулятор показывает эту формулу. Для двух и более чисел общие множители и НОД с НОК находит калькулятор НОД и НОК, а список простых чисел с решетом Эратосфена — таблица простых чисел.
| Числа | до 10¹⁵ |
| Показывает | разложение, делители, сумму |
| Проверка на простоту | да |
| Решето Эратосфена | ≈240 до н. э. |
| Метод Ферма | 1643 |
| Основная теорема | Гаусс, 1801 |
| RSA | 1977 |
| Рекорд разложения | 250 цифр, 2020 |
Как пользоваться
Калькулятор делит число на простые по порядку: на 2, пока делится, потом на 3, на 5 и дальше, записывая столбик, как в тетради, и собирает ответ в виде произведения и в степенях: 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2³ × 3² × 5. Рядом — проверка, простое ли число, число делителей по формуле (a+1)(b+1)… и сам список делителей, если их не слишком много. Принимаются числа до 15 цифр: перебор делителей идёт до квадратного корня, и для больших чисел с крупными простыми множителями это занимает доли секунды. Проверено 04.09.2026.
- Натуральное, до 15 цифр. Для нескольких чисел разложите каждое по очереди.
- Слева число, справа простой делитель, ниже частное — и так до единицы.
- Одинаковые множители собраны в степени; так удобно искать НОД и НОК.
- Число делителей считается по показателям степеней, сам список показан, если делителей не больше двухсот.
Частые вопросы
Как раскладывать число на простые множители
Делим на наименьшее простое число, на которое делится: на 2, пока чётное, потом на 3, 5, 7 и так далее. Каждый делитель записываем справа от черты, частное — под числом. Когда осталась единица, множители справа и есть разложение.
Как понять, что число простое
Если у него нет делителей, кроме единицы и самого себя. Проверять достаточно до квадратного корня: если до него делителей нет, дальше их тоже не будет. Калькулятор так и делает и сообщает результат отдельной строкой.
Зачем запись в степенях
Для НОД, НОК и подсчёта делителей. Число делителей равно произведению показателей, увеличенных на единицу: у 360 = 2³ × 3² × 5 это (3+1)(2+1)(1+1) = 24 делителя.
Признаки делимости, которые ускоряют разбор
На 2 — чётная последняя цифра, на 3 — сумма цифр делится на 3, на 5 — оканчивается на 0 или 5, на 9 — сумма цифр делится на 9, на 10 — оканчивается на 0. На 7 и 11 удобных признаков для устного счёта почти нет, там проще делить.
Что с единицей и нулём
Единица не простое и не составное, разложения у неё нет; ноль делится на всё и тоже не раскладывается. Калькулятор принимает числа от 2.
Сколько времени занимает большое число
Для 15-значного числа перебор до корня — до 30 миллионов делений, в браузере это доли секунды. Простые числа такого размера проверяются дольше всего, потому что перебор доходит до конца.
Спросите нейросети об инструменте
Похожие инструменты
Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное с разложением на множители и алгоритмом Евклида. Сокращает дроби до несократимых.
ОткрытьТаблица простых чиселПростые до 10 000, решето Эратосфена до 100, проверка числа до триллиона, разложение на множители, соседние простые и печать.
ОткрытьТаблица степенейОснования от 2 до 10 с показателями до 12, степени двойки до 2^64 с байтами, степени десяти с названиями, своё основание и точный расчёт без округления.
ОткрытьТаблица кубовКубы чисел от 0 до 999, поиск куба и кубического корня, подсветка, список 1–100 и печать.
ОткрытьТаблица квадратовКвадраты чисел от 0 до 999 в школьной записи «десятки-единицы», поиск квадрата и корня, подсветка ячейки, список 1–100 и печать.
ОткрытьУпростить выражениеРаскрыть скобки, привести подобные, сократить дробь, разложить на множители, взять производную и интеграл: шаги, запись как в учебнике, проверка подстановкой.
ОткрытьЕщё инструменты для математики
Проценты и пропорции, дроби, степени и корни, логарифмы, НОД и НОК, уравнения, средние и разброс, площади фигур — в разделе 48 инструментов.