Таблица квадратов

Что внутри таблицы и как считать в уме

В таблице сто клеток: строка задаёт десятки числа, столбец единицы, а в клетке стоит квадрат. Такой формат придумали для экономии места, и он же удобен для обратной задачи: чтобы извлечь корень из 2 209, достаточно найти число в клетках и прочитать строку и столбец. Вторая вкладка продолжает таблицу до 999, третья даёт простой список от 1 до 100.

Квадраты растут быстро, но их последняя цифра зависит только от последней цифры числа, и это один из первых признаков, по которым проверяют ответ. Ещё одно свойство: разность соседних квадратов равна сумме соседних чисел, поэтому от 47² до 48² нужно прибавить 47 + 48 = 95. Так таблицу можно продолжать в уме без умножения.

История таблиц квадратов

Таблицы квадратов старше алгебры на три с половиной тысячи лет. Вавилонские писцы около 1800 года до нашей эры выдавливали их на глине для обучения и для счёта: умножать в шестидесятеричной системе было тяжело, и вместо этого пользовались тождеством ab = ((a + b)² − (a − b)²) / 4, где нужны только сложение, вычитание и готовые квадраты. Табличка YBC 7289 из Йельской коллекции показывает, как далеко продвинулись вавилоняне в обратной задаче: на ней квадрат с диагональю и число √2 с точностью до шестого знака, а Plimpton 322 из Колумбийского университета содержит пятнадцать пифагоровых троек за тысячу лет до Пифагора.

Греки перевели квадраты в геометрию, отсюда и само слово: квадрат числа — площадь квадрата с такой стороной. Пифагорейцы заметили, что квадраты складываются из нечётных чисел, 1 + 3 + 5 + 7 = 16, и рисовали это точками в форме уголка. Герон Александрийский в первом веке описал способ извлекать корень уточняющими приближениями, который вавилоняне применяли задолго до него и который до сих пор считает калькулятор.

В девятнадцатом веке таблицы «четвертей квадратов» печатали до ста тысяч и продавали бухгалтерам и астрономам: перемножить два пятизначных числа по ним выходило быстрее, чем столбиком, и способ дожил до арифмометров. В школе таблица квадратов до 99 закрепилась на форзацах учебников алгебры, а с введением ОГЭ и ЕГЭ вошла в справочные материалы, которые выдают на экзамене вместе с заданием.

Как извлекать корень и проверять ответ

Как устроена таблица и зачем она

Такую таблицу печатают на форзаце учебника алгебры за 8 класс, потому что квадраты до 99 нужны при решении квадратных уравнений и извлечении корней без калькулятора, а на ОГЭ и ЕГЭ по математике справочные материалы включают именно её. Квадраты чисел от 100 до 999 пригодятся на олимпиадах и в задачах на многозначные числа. Проверено 06.09.2026.