ПаветтаКалькулятор НОД и НОК
Калькулятор НОД и НОК для двух и более чисел с решением: разложение на простые множители и алгоритм Евклида печатаются под ответом. Вторая вкладка сокращает дробь до несократимой.
Разложение на множители: правило в двух строках
Любое натуральное число больше единицы раскладывается на простые множители единственным способом, и запись удобно сжимать степенями: 72 = 2·2·2·3·3 = 2³·3². Как только разложения готовы, оба ответа собираются механически.
В НОД берут простые, которые встретились у всех чисел сразу, и каждое в наименьшей степени. У 72 = 2³·3² и 108 = 2²·3³ общие простые — двойка и тройка; наименьшие степени 2² и 3², произведение 4·9 = 36. В НОК берут все простые из всех разложений и каждое в наибольшей степени: 2³ и 3³ дают 8·27 = 216. Если общего простого нет ни одного, НОД равен единице: пустое произведение в математике принято считать единицей, и это ровно случай взаимно простых чисел.
Алгоритм Евклида
Разложение наглядно, но у больших чисел упирается в поиск делителей. Евклид обходится делением с остатком: большее делят на меньшее, потом делитель делят на полученный остаток, и повторяют, пока остаток не станет нулём. Последний ненулевой остаток и есть НОД.
Для 108 и 72 весь путь занимает две строки. Сначала 108 = 72·1 + 36, остаток 36. Затем 72 = 36·2 + 0, остаток обнулился, значит ответ 36. Алгоритму безразличен размер чисел: у пары шестизначных он сходится за десяток шагов, тогда как разложение на множители потребовало бы перебора делителей. Калькулятор считает Евклидом и печатает цепочку остатков целиком.
Связь НОД и НОК
Для двух чисел выполняется равенство НОД(a, b) · НОК(a, b) = a · b. Проверить легко: 36 · 216 = 7776 и 72 · 108 = 7776. Из него же выводится способ считать НОК без разложения — перемножить числа и поделить на НОД. Именно так работает вторая строка панели результата.
Равенство держится только для пары. Для трёх чисел 12, 18 и 24 наибольший общий делитель равен 6, наименьшее общее кратное равно 72, их произведение 432, а произведение самих чисел 5184. Поэтому для списка калькулятор считает НОД и НОК по цепочке: сначала для первых двух чисел, потом результат складывается со следующим, и так до конца списка.
Особые случаи
Ноль делится нацело на любое число, поэтому НОД(a, 0) = a: всё ограничение задаёт второе число. Наименьшее общее кратное с нулём равно нулю по той же причине — ноль кратен всему. Единица делит любое число, значит НОД(a, 1) всегда равен единице, а НОК(a, 1) равен самому числу. Когда одно число делится на другое нацело, ответы вырождаются в сами числа: НОД(4, 12) = 4, НОК(4, 12) = 12. Одинаковые числа дают НОД и НОК, равные им самим.
Взаимно простые числа — отдельный случай, который стоит узнавать в лицо. Общих множителей у них нет, НОД равен 1, а НОК совпадает с произведением: у 7 и 13 это 91, у 8 и 9 это 72. Дробь, собранная из взаимно простых числителя и знаменателя, уже несократима, и вторая вкладка калькулятора сообщает об этом прямо.
Готовые ответы для ходовых пар
Пары, которые чаще всего попадаются в упражнениях. Вторая колонка показывает разложения, из которых собираются оба ответа, — по ней удобно сверять свой черновик.
| Числа | Разложения | НОД | НОК |
|---|---|---|---|
| 4 и 12 | 2² и 2²·3 | 4 | 12 |
| 5 и 7 | 5 и 7 | 1 | 35 |
| 8 и 12 | 2³ и 2²·3 | 4 | 24 |
| 11 и 13 | 11 и 13 | 1 | 143 |
| 12 и 13 | 2²·3 и 13 | 1 | 156 |
| 12 и 15 | 2²·3 и 3·5 | 3 | 60 |
| 12 и 16 | 2²·3 и 2⁴ | 4 | 48 |
| 12 и 18 | 2²·3 и 2·3² | 6 | 36 |
| 12 и 30 | 2²·3 и 2·3·5 | 6 | 60 |
| 13 и 14 | 13 и 2·7 | 1 | 182 |
| 14 и 21 | 2·7 и 3·7 | 7 | 42 |
| 14 и 25 | 2·7 и 5² | 1 | 350 |
| 15 и 20 | 3·5 и 2²·5 | 5 | 60 |
| 15 и 25 | 3·5 и 5² | 5 | 75 |
| 16 и 20 | 2⁴ и 2²·5 | 4 | 80 |
| 16 и 24 | 2⁴ и 2³·3 | 8 | 48 |
| 18 и 24 | 2·3² и 2³·3 | 6 | 72 |
| 18 и 30 | 2·3² и 2·3·5 | 6 | 90 |
| 18 и 42 | 2·3² и 2·3·7 | 6 | 126 |
| 21 и 28 | 3·7 и 2²·7 | 7 | 84 |
| 24 и 36 | 2³·3 и 2²·3² | 12 | 72 |
| 27 и 36 | 3³ и 2²·3² | 9 | 108 |
| 30 и 45 | 2·3·5 и 3²·5 | 15 | 90 |
| 36 и 48 | 2²·3² и 2⁴·3 | 12 | 144 |
| 45 и 95 | 3²·5 и 5·19 | 5 | 855 |
| 48 и 60 | 2⁴·3 и 2²·3·5 | 12 | 240 |
| 60 и 90 | 2²·3·5 и 2·3²·5 | 30 | 180 |
| 72 и 108 | 2³·3² и 2²·3³ | 36 | 216 |
| 84 и 90 | 2²·3·7 и 2·3²·5 | 6 | 1260 |
| 108 и 144 | 2²·3³ и 2⁴·3² | 36 | 432 |
| 120 и 150 | 2³·3·5 и 2·3·5² | 30 | 600 |
| 125 и 175 | 5³ и 5²·7 | 25 | 875 |
| 7 и 13 | 7 и 13 | 1 | 91 |
| 9 и 28 | 3² и 2²·7 | 1 | 252 |
| 10, 18, 24 | 2·5, 2·3², 2³·3 | 2 | 360 |
| 12, 16, 20 | 2²·3, 2⁴, 2²·5 | 4 | 240 |
| 12, 18, 24 | 2²·3, 2·3², 2³·3 | 6 | 72 |
| 16, 20, 24 | 2⁴, 2²·5, 2³·3 | 4 | 240 |
| 27, 72, 108 | 3³, 2³·3², 2²·3³ | 9 | 216 |
| 2, 3, 5 | 2, 3, 5 | 1 | 30 |
Что рядом
Сокращение и сложение дробей целиком считает калькулятор дробей, отношения и масштабы — калькулятор пропорций. Разложение на множители опирается на таблицу умножения, её удобно повторить в тренажёре таблицы умножения, а степени и обратный к ним счёт разбирает калькулятор логарифмов. Все вычисления идут в браузере, введённые числа никуда не отправляются.
Что считает калькулятор и примеры
Калькулятор находит наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное для двух и больше чисел, показывает разложение каждого на простые множители, ход алгоритма Евклида и связь НОД × НОК = a × b для пары. Отдельная вкладка сокращает дробь: делит числитель и знаменатель на их НОД.
НОД нужен, чтобы сократить дробь и разбить величины на равные части, НОК — чтобы привести дроби к общему знаменателю и найти, когда совпадут два периодических события: автобусы каждые 12 и 18 минут встретятся через 36. Для чисел до триллиона расчёт мгновенный.
| Числа | Разложение | НОД | НОК |
|---|---|---|---|
| 12 и 18 | 2²·3 и 2·3² | 6 | 36 |
| 24 и 36 | 2³·3 и 2²·3² | 12 | 72 |
| 15 и 28 | 3·5 и 2²·7 | 1, взаимно простые | 420 |
| 100 и 75 | 2²·5² и 3·5² | 25 | 300 |
| 8, 12 и 20 | 2³, 2²·3, 2²·5 | 4 | 120 |
История: алгоритм Евклида, которому 2 300 лет
Способ найти общую меру двух величин Евклид описал около 300 года до нашей эры в седьмой книге «Начал»: из большего числа вычитают меньшее, пока не останется общая мера. Это старейший алгоритм, который до сих пор используют в исходном виде, только вычитание заменили делением с остатком. Греки применяли его к отрезкам и так открыли несоизмеримость: у стороны и диагонали квадрата общей меры нет, и процесс не заканчивается.
Индийские математики VII века научились с помощью того же алгоритма решать уравнения в целых числах, китайские — задачи о совпадении циклов календаря. Число шагов оценил Габриэль Ламе в 1844 году: их не больше, чем пятикратное число цифр меньшего числа, и это первый в истории анализ сложности алгоритма. Сегодня алгоритм Евклида работает в каждом компьютере: на нём держится арифметика дробей, сокращение и криптография с открытым ключом.
Как вводить числа и что смотреть
Введите числа через запятую или пробел, и калькулятор выдаст НОД, НОК, разложения и шаги алгоритма Евклида. Для трёх и больше чисел он идёт по цепочке: НОД первых двух, потом с третьим, и так далее. Чтобы сократить дробь, впишите числитель и знаменатель на второй вкладке.
Если НОД равен единице, числа взаимно простые, и НОК равен их произведению. Для приведения дробей к общему знаменателю берите НОК знаменателей, а само сложение дробей с шагами делает калькулятор дробей. Разложение большого числа с полным списком делителей показывает разложение на простые множители.
| Чисел | 2 и больше |
| Метод | алгоритм Евклида |
| Связь | НОД × НОК = a × b |
| Взаимно простые | НОД = 1 |
| Евклид | ≈300 до н. э. |
| Оценка шагов | Ламе, 1844 |
| Сокращение дроби | да |
| Данные на сервер | не уходят |
Как пользоваться
- Через запятую или пробел, хоть два числа, хоть десять. Список читается по целым: любой другой знак работает разделителем.
- Каждое число раскладывается на простые множители, из них собираются НОД и НОК.
- Для пары чисел печатается цепочка делений с остатком — тот самый алгоритм из учебника.
Частые вопросы
Как найти НОК двух чисел
Перемножьте числа и разделите на их НОД. Для 24 и 36: НОД 12, НОК 24 × 36 / 12 = 72. Для 13 и 14 НОД равен 1, поэтому НОК — просто произведение, 182. Для 45 и 95: НОД 5, НОК 855. Калькулятор показывает то же решение по шагам с разложением на простые множители.
Чем НОД отличается от НОК
Направлением. НОД ищут снизу: это самый большой делитель, общий для всех чисел, и он никогда не превосходит наименьшее из них. НОК ищут сверху: это самое маленькое число, которое делится на каждое, и оно никогда не меньше наибольшего. Для 72 и 108 наибольший общий делитель равен 36, наименьшее общее кратное — 216. НОД помогает делить и сокращать, НОК — приводить к общему знаменателю и совмещать циклы.
Как найти НОД разложением на множители
Каждое число раскладывают на простые множители и записывают степенями: 72 = 2³·3², 108 = 2²·3³. Дальше берут только те простые, которые есть у всех чисел, и у каждого оставляют наименьшую встретившуюся степень: двойка входит в 72 трижды и в 108 дважды, значит берём 2²; тройка входит дважды и трижды, берём 3². Перемножаем: 2²·3² = 4·9 = 36. Для НОК правило зеркальное — берут все простые из всех разложений и каждый в наибольшей степени: 2³·3³ = 8·27 = 216.
Что такое алгоритм Евклида и зачем он нужен
Способ найти НОД без разложения на множители. Большее число делят на меньшее с остатком, потом делитель делят на остаток, и так до нулевого остатка; последний ненулевой остаток и есть НОД. Для 108 и 72: 108 = 72·1 + 36, затем 72 = 36·2 + 0, ответ 36. Разложение на множители у больших чисел упирается в поиск делителей, а Евклиду хватает нескольких делений, поэтому именно он работает внутри калькулятора.
Чему равен НОД с нулём и с единицей
НОД(a, 0) = a. Ноль делится на любое число без остатка, поэтому ограничение накладывает только второе число: НОД(0, 5) = 5. С НОК наоборот: НОК с нулём равен нулю, потому что ноль кратен всему и меньше него ничего нет. Единица делит любое число, так что НОД(a, 1) = 1 всегда, а НОК(a, 1) = a. Эти случаи калькулятор разбирает отдельно и пишет пояснение под ответом.
Какие числа называют взаимно простыми
Те, у которых нет общих делителей кроме единицы, то есть НОД равен 1. Пример — 7 и 13: оба простые, общих множителей нет, НОД(7, 13) = 1. У взаимно простых чисел НОК совпадает с их произведением: 7·13 = 91. Простыми сами числа при этом быть не обязаны, достаточно разных множителей: 8 = 2³ и 9 = 3², общего ничего, НОД снова 1, а НОК равен 72. Дробь из взаимно простых чисел уже несократима.
Как связаны НОД и НОК
Через произведение: НОД(a, b) · НОК(a, b) = a · b. На числах 72 и 108 это 36 · 216 = 7776 и 72 · 108 = 7776, сходится. Отсюда быстрый приём: НОК считают как произведение, делённое на НОД, и калькулятор внутри делает именно так. Правило работает ровно для пары чисел. У тройки 12, 18, 24 НОД равен 6, НОК равен 72, их произведение 432, а произведение самих чисел 5184, и равенства уже нет.
Где НОД и НОК нужны за пределами учебника
НОД сокращает дроби: 72/108 делится на 36 и превращается в 2/3, дальше сокращать нечего. НОК приводит дроби к общему знаменателю и складывает циклы. Если один автобус ходит раз в 12 минут, другой раз в 18, вместе они окажутся на остановке через НОК(12, 18) = 36 минут. Тем же счётом раскладывают плитку без подрезки и подбирают шестерёнки: зубцы совпадут через число оборотов, которое даёт НОК.
Спросите нейросети об инструменте
Похожие инструменты
Выражения со скобками и смешанными числами, точная арифметика и решение по действиям как в тетради.
ОткрытьКалькулятор пропорцийПравило трёх с любым неизвестным, масштаб чертежа, деление величины в отношении и упрощение до целых: 1920:1080 сводится к 16:9.
ОткрытьТаблица умножения: тренажёрТренажёр по столбикам на время или на количество с возвратом ошибок и картой слабых столбиков, интерактивная таблица Пифагора, лист примеров и диплом на печать.
ОткрытьКалькулятор логарифмовЛогарифм по любому основанию, десятичный, натуральный и двоичный. Показывает смысл: log₂ 8 равен 3, потому что 2³ даёт 8.
ОткрытьРазложение на простые множителиЧисло раскладывается на простые множители столбиком с каждым делителем, запись в степенях, проверка на простоту, все делители числа.
ОткрытьДлина окружностиРасчёт по радиусу, диаметру или площади и обратный ход. Колесо диаметром 66 см делает на километре 482 оборота.
ОткрытьЕщё инструменты для математики
Проценты и пропорции, дроби, степени и корни, логарифмы, НОД и НОК, уравнения, средние и разброс, площади фигур — в разделе 82 инструмента.