Таблица кубов
Таблица кубов натуральных чисел: строка задаёт десятки, столбец единицы, в ячейке куб, а поле сверху считает куб любого числа и извлекает кубический корень. Диапазон переключается с 0–99 на 100–999, таблицу можно распечатать.
Что внутри таблицы и свойства кубов
Устройство то же, что у таблицы квадратов: строка задаёт десятки, столбец единицы, в клетке куб. Кубы растут круче: 99³ уже почти миллион, а 999³ близко к миллиарду, поэтому во второй вкладке числа длинные и разделены тонкими пробелами по разрядам.
У кубов есть свойство, которого нет у квадратов: последняя цифра куба однозначно задаёт последнюю цифру числа. Двойка даёт восьмёрку, тройка семёрку, семёрка тройку, восьмёрка двойку, остальные цифры сохраняются. Поэтому кубический корень из точного куба до миллиона извлекается в уме за два взгляда: по тысячам находят десятки, по последней цифре единицы.
| Последняя цифра куба | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Последняя цифра числа | 0 | 1 | 8 | 7 | 4 | 5 | 6 | 3 | 2 | 9 |
История: от удвоения куба до числа такси
Кубы вошли в математику через задачу об удвоении куба: по легенде, оракул на Делосе велел вдвое увеличить кубический алтарь, и греки поняли, что для этого нужен корень кубический из двух. Гиппократ Хиосский свёл задачу к двум средним пропорциональным, Архит Тарентский около 400 года до нашей эры решил её пересечением трёх поверхностей, Менехм для той же цели открыл параболу и гиперболу. Циркулем и линейкой задача не решается, и это доказал Пьер Ванцель только в 1837 году.
Следующий шаг сделали итальянцы Возрождения. Сципион дель Ферро и Никколо Тарталья нашли способ решать кубические уравнения, а Джероламо Кардано в 1545 году напечатал его в «Великом искусстве», после чего его ученик Феррари справился и с четвёртой степенью. Из этой же книги выросли комплексные числа: формула Кардано требовала извлекать корни из отрицательных чисел даже там, где ответ был вещественным.
Самая известная история о кубах случилась в 1918 году в Лондоне: Годфри Харди навестил больного Рамануджана и пожаловался на скучный номер такси, 1729. Рамануджан ответил, что число замечательное: это наименьшее число, представимое суммой двух кубов двумя способами, 1³ + 12³ = 9³ + 10³. С тех пор такие числа называют числами такси. А из головоломок кубу принадлежит рекорд популярности: кубик Эрнё Рубика 1974 года состоит из 3³ элементов и разошёлся тиражом больше 400 миллионов.
Как извлекать кубический корень в уме
Кубический корень из точного куба до миллиона извлекают без таблицы. Отбросьте три последние цифры и найдите, между какими кубами лежит остаток: для 12 167 остаток 12 лежит между 8 = 2³ и 27 = 3³, значит десятков две. Последняя цифра 7 по таблице выше означает единицу 3, ответ 23. Если число оказалось не точным кубом, поле сверху покажет корень с четырьмя знаками и два соседних куба.
В алгебре кубы встречаются в формулах сокращённого умножения: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, а сумма и разность кубов раскладываются на множители: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). Сумма первых кубов даёт красивое тождество Никомаха: 1³ + 2³ + … + n³ равно квадрату суммы 1 + 2 + … + n, для десяти чисел это 55² = 3 025.
| Кубов в сетке | 100 |
| Диапазон второй вкладки | 100–999 |
| Наибольший куб | 997 002 999 |
| Точных кубов до 1000 | 9 |
| Последняя цифра | однозначно задаёт число |
| Число такси | 1 729 |
| Положений кубика Рубика | 4,3 · 10¹⁹ |
| Удвоение куба циркулем | невозможно (1837) |
Как устроена таблица и зачем она
Кубы нужны реже квадратов: при разложении по формулам суммы и разности кубов, в задачах на объём и в олимпиадных заданиях на делимость. Кубы до 10 стоит помнить, дальше выручает таблица; кубический корень из числа, которого в таблице нет, поле показывает с четырьмя знаками вместе с соседними кубами. Проверено 06.09.2026.
Как пользоваться
- Строка — десятки, столбец — единицы: у 47 это строка 4 и столбец 7. Для чисел от 100 переключите диапазон, строка тогда — число без последней цифры.
- Поле сверху считает куб любого числа, а если ввести сам куб, найдёт корень и отметит ячейку в таблице.
- Клик по ячейке выделяет её и показывает запись в поле результата: удобно, когда таблица на экране во время урока.
- Кнопка «Печать» открывает таблицу на отдельном листе без лишних элементов.
Частые вопросы
Как пользоваться таблицей кубов
Разбейте число на десятки и единицы: для 23 найдите строку 2 и столбец 3, в ячейке 12 167. Для трёхзначных чисел переключите диапазон, строка тогда — число без последней цифры.
Как найти кубический корень
Найдите число среди ячеек: 12 167 стоит в строке 2, столбце 3, корень равен 23. Если числа нет, введите его в поле сверху: оно покажет корень с четырьмя знаками и два соседних куба.
Какие кубы стоит помнить
От 1 до 10: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1 000, а также 11³ = 1 331, 12³ = 1 728 и 20³ = 8 000. Последняя цифра куба однозначно задаёт последнюю цифру числа, и это помогает подбирать корень в уме.
Где кубы нужны в школе
В формулах сокращённого умножения a³ ± b³, в задачах на объём куба и шара, в 8–9 классах при работе со степенями и корнями, на олимпиадах в задачах на остатки: кубы дают при делении на 9 только остатки 0, 1 и 8.
Почему у отрицательных чисел куб отрицательный
Нечётная степень сохраняет знак: (−3)³ = −27, поэтому кубический корень определён и для отрицательных чисел, в отличие от квадратного.
Данные куда-то отправляются
Нет, таблица считается в браузере.
Похожие инструменты
Гипотенуза, катеты, углы, площадь и радиусы по любым двум величинам. С чертежом и решением по шагам.
ОткрытьНОД и НОКНаибольший общий делитель и наименьшее общее кратное с разложением на множители и алгоритмом Евклида. Сокращает дроби до несократимых.
ОткрытьТаблица умножения: тренажёрТренажёр по столбикам на время или на количество с возвратом ошибок и картой слабых столбиков, интерактивная таблица Пифагора, лист примеров и диплом на печать.
ОткрытьКалькулятор дробейВыражения со скобками и смешанными числами, точная арифметика и решение по действиям как в тетради.
ОткрытьКалькулятор логарифмовЛогарифм по любому основанию, десятичный, натуральный и двоичный. Показывает смысл: log₂ 8 равен 3, потому что 2³ даёт 8.
ОткрытьДеление в столбикДеление уголком с каждым шагом: целые и с остатком, десятичные до нужного знака, проверка умножением. Запись как в тетради.
ОткрытьЕщё инструменты для SEO и маркетинга
Кластеризатор запросов, генераторы sitemap и robots.txt, минус-слова, разметка Schema.org и калькуляторы — в разделе инструментов.