ПаветтаРасчёт прямоугольного треугольника: гипотенуза, катеты, углы
Достраивает треугольник по двум известным величинам: катетам, гипотенузе, углу, площади, высоте или проекциям катетов. Считает всё сразу — недостающие стороны, оба острых угла, площадь, периметр, высоту к гипотенузе, медиану, радиусы вписанной и описанной окружностей и проекции катетов.
Как найти катет, гипотенузу и угол: формулы с примерами
Обозначения: a и b — катеты, c — гипотенуза, α — острый угол напротив катета a, h — высота к гипотенузе, a_c и b_c — проекции катетов на гипотенузу. Синус угла — противолежащий катет, делённый на гипотенузу, косинус — прилежащий катет, делённый на гипотенузу, тангенс — противолежащий катет, делённый на прилежащий.
| Что найти | Что известно | Формула | Пример |
|---|---|---|---|
| Гипотенуза | два катета | c = √(a² + b²) | 6 и 8 → 10 |
| Гипотенуза | катет и противолежащий угол | c = a / sin α | 5 и 30° → 10 |
| Гипотенуза | катет и прилежащий угол | c = b / cos α | 10 и 30° → 11,55 |
| Катет | гипотенуза и угол | a = c · sin α, b = c · cos α | 10 и 30° → 5 и 8,66 |
| Второй катет | гипотенуза и катет | b = √(c² − a²) | 13 и 5 → 12 |
| Противолежащий катет | прилежащий катет и угол | a = b · tg α | 4 и 30° → 2,31 |
| Прилежащий катет | противолежащий катет и угол | b = a / tg α | 3 и 30° → 5,2 |
| Угол | два катета | α = arctg(a / b) | 3 и 4 → 36,87° |
| Угол | катет и гипотенуза | α = arcsin(a / c) | 5 и 13 → 22,62° |
| Площадь | два катета | S = a · b / 2 | 6 и 8 → 24 |
| Площадь | гипотенуза и угол | S = c² · sin 2α / 4 | 10 и 30° → 21,65 |
| Площадь | гипотенуза и высота | S = c · h / 2 | 5 и 2,4 → 6 |
| Высота к гипотенузе | два катета | h = a · b / c | 3 и 4 → 2,4 |
| Проекции катетов | катеты и гипотенуза | a_c = a² / c, b_c = b² / c | 3, 4, 5 → 1,8 и 3,2 |
| Высота через проекции | обе проекции | h = √(a_c · b_c) | 1,8 и 3,2 → 2,4 |
Углы 30°, 45° и 60°
Катет напротив угла 30° равен половине гипотенузы, это частый вопрос в задачах. При угле 45° катеты равны, и гипотенуза длиннее каждого в √2 ≈ 1,414 раза.
| Угол α | Катет против α при c = 10 | Катет у α при c = 10 | sin α | cos α | tg α |
|---|---|---|---|---|---|
| 30° | 5 | 8,66 | 1/2 ≈ 0,5 | √3/2 ≈ 0,866 | √3/3 ≈ 0,577 |
| 45° | 7,07 | 7,07 | √2/2 ≈ 0,707 | √2/2 ≈ 0,707 | 1 ≈ 1 |
| 60° | 8,66 | 5 | √3/2 ≈ 0,866 | 1/2 ≈ 0,5 | √3 ≈ 1,732 |
Египетские треугольники: таблица пифагоровых троек
Все 13 тройки с целыми сторонами и гипотенузой до 85, без кратных: тройку 3, 4, 5 можно умножить на любое число и получить 6, 8, 10 или 9, 12, 15. Наберите стороны в режиме «Два катета», и калькулятор отметит тройку.
| Стороны | Площадь | Периметр | Меньший угол |
|---|---|---|---|
| 3, 4, 5 | 6 | 12 | 36,87° |
| 5, 12, 13 | 30 | 30 | 22,62° |
| 8, 15, 17 | 60 | 40 | 28,07° |
| 7, 24, 25 | 84 | 56 | 16,26° |
| 20, 21, 29 | 210 | 70 | 43,6° |
| 12, 35, 37 | 210 | 84 | 18,92° |
| 9, 40, 41 | 180 | 90 | 12,68° |
| 28, 45, 53 | 630 | 126 | 31,89° |
| 11, 60, 61 | 330 | 132 | 10,39° |
| 16, 63, 65 | 504 | 144 | 14,25° |
| 33, 56, 65 | 924 | 154 | 30,51° |
| 48, 55, 73 | 1320 | 176 | 41,11° |
| 13, 84, 85 | 546 | 182 | 8,8° |
Что находит калькулятор и формулы
Калькулятор достраивает прямоугольный треугольник по любым двум известным величинам: двум катетам, катету и гипотенузе, стороне и углу, площади и стороне. Находит все стороны, оба острых угла, площадь, периметр, высоту к гипотенузе, медиану и радиусы вписанной и описанной окружностей, рисует чертёж в масштабе и расписывает решение по шагам с формулами.
В основе теорема Пифагора и определения синуса, косинуса и тангенса. Из полезного, что забывают: медиана к гипотенузе равна её половине, радиус описанной окружности тоже, а высота к гипотенузе делит треугольник на два подобных исходному.
| Известно | Формула | Пример |
|---|---|---|
| Два катета | c = √(a² + b²) | 3 и 4 → гипотенуза 5 |
| Катет и гипотенуза | b = √(c² − a²) | 5 и 13 → 12 |
| Катет и угол | b = a · tg β, c = a / cos β | 10 и 30° → 5,77 и 11,55 |
| Площадь | S = a · b / 2 | 3 и 4 → 6 |
| Радиусы | R = c / 2, r = (a + b − c) / 2 | 3, 4, 5 → 2,5 и 1 |
История: от вавилонских троек до Эйлера
Тройки чисел, из которых складывается прямоугольный треугольник, вавилоняне выписывали за тысячу лет до Пифагора: табличка Plimpton 322 содержит пятнадцать таких троек. Египетские землемеры натягивали верёвку с узлами 3, 4 и 5, чтобы получить прямой угол, отсюда «египетский треугольник». Пифагору в VI веке до нашей эры приписывают первое доказательство, а Евклид дал строгое в сорок седьмом предложении первой книги «Начал»; китайское доказательство из «Чжоу би суань цзин» того же времени обходится одним чертежом.
Доказательств у теоремы больше четырёхсот, среди авторов Леонардо да Винчи и президент США Гарфилд. Тригонометрия, вторая половина калькулятора, выросла из астрономии: Гиппарх во II веке до нашей эры составил таблицы хорд, индийские астрономы ввели синус, а Эйлер в XVIII веке придал тригонометрическим функциям нынешний вид и обозначения.
Как вводить величины
Выберите, что известно, и введите два числа: калькулятор найдёт остальное и покажет чертёж. Угол вводится в градусах; по двум углам без стороны треугольник определён только с точностью до подобия, поэтому одна длина нужна всегда. Округление выбирается до целых, одного, двух или четырёх знаков.
Шаги решения написаны так, как их ждут в тетради: формула, подстановка, ответ. Для произвольного треугольника по трём сторонам или двум сторонам и углу есть калькулятор треугольника, для площадей других фигур — площадь и периметр фигур.
| Входных величин | любые 2 |
| Находит | 12 величин |
| Чертёж | в масштабе |
| Решение | по шагам |
| Plimpton 322 | ≈1800 до н. э. |
| Пифагор | VI век до н. э. |
| Евклид I.47 | ≈300 до н. э. |
| Доказательств | больше 400 |
Что показывает расчёт
Достраивает треугольник по двум известным величинам: катетам, гипотенузе, углу, площади, высоте или проекциям катетов. Считает всё сразу — недостающие стороны, оба острых угла, площадь, периметр, высоту к гипотенузе, медиану, радиусы вписанной и описанной окружностей и проекции катетов. Чертёж строится в настоящем масштабе и меняется вместе с числами: видно, что треугольник с катетами 3 и 4 не похож на треугольник с катетами 3 и 40, по одним цифрам это не чувствуется. К каждому ответу разворачивается решение по шагам — с формулой, подстановкой и результатом, в том виде, в каком его можно переписать в тетрадь.
Как пользоваться
Чертёж строится в настоящем масштабе и меняется вместе с числами: видно, что треугольник с катетами 3 и 4 не похож на треугольник с катетами 3 и 40, по одним цифрам это не чувствуется. К каждому ответу разворачивается решение по шагам — с формулой, подстановкой и результатом, в том виде, в каком его можно переписать в тетрадь.
- Десять вариантов: стороны, сторона и угол, площадь, высота или проекции катетов.
- Расчёт идёт сразу, кнопку нажимать не нужно.
- Он в масштабе: видно форму треугольника, и она меняется вместе с числами.
- Каждый шаг с формулой и подстановкой — можно переписать целиком.
Частые вопросы
Как найти гипотенузу
По теореме Пифагора: гипотенуза равна корню из суммы квадратов катетов. Для катетов 3 и 4 это корень из 25, то есть 5. Если известен катет и острый угол, гипотенуза находится через синус или косинус: катет, лежащий против угла, делится на синус этого угла.
Как найти катет, если известны гипотенуза и второй катет
Из той же теоремы, только наоборот: катет равен корню из разности квадратов гипотенузы и известного катета. Важное ограничение — гипотенуза всегда длиннее любого катета. Если ввести катет больше гипотенузы, задачи не существует, и калькулятор об этом скажет вместо того, чтобы выдать корень из отрицательного числа.
Какие бывают египетские треугольники
Так называют прямоугольные треугольники с целыми сторонами. Самый известный — 3, 4, 5, его использовали для разметки прямых углов на местности верёвкой с узлами. Другие ходовые тройки: 5, 12, 13; 8, 15, 17; 7, 24, 25; 20, 21, 29. Все они получаются из одной формулы и продолжаются бесконечно.
Чему равна сумма острых углов
Девяноста градусам. Прямой угол уже забрал половину от суммы углов треугольника, поэтому два оставшихся в сумме дают ровно 90. Отсюда простое следствие: зная один острый угол, второй получают вычитанием, и никакой тригонометрии для этого не нужно.
Как считается высота к гипотенузе
Через площадь. Площадь треугольника равна половине произведения катетов и одновременно половине произведения гипотенузы на высоту к ней. Приравняв, получаем: высота равна произведению катетов, делённому на гипотенузу. Для треугольника 3, 4, 5 это 2,4.
Зачем нужны медиана и радиусы окружностей
Медиана к гипотенузе равна её половине — это отдельная теорема, и из неё же следует, что центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, а её радиус равен половине гипотенузы. Радиус вписанной окружности считается как сумма катетов минус гипотенуза, делённая пополам. Эти величины постоянно спрашивают в задачах на вписанные и описанные фигуры.
Спросите нейросети об инструменте
Похожие инструменты
По трём сторонам, двум сторонам и углу или стороне и двум углам: углы, площадь, высоты, медианы, биссектрисы, радиусы окружностей, чертёж в масштабе и решение по шагам.
ОткрытьПлощадь и периметр фигурВосемь фигур от квадрата до правильного многоугольника, треугольник по трём сторонам через формулу Герона и проверка, существует ли он вообще.
ОткрытьКалькулятор степениВозведение в целую, отрицательную и дробную степень с ходом решения: 2⁻³ раскладывается в дробь, 8^(2/3) переходит к корню.
ОткрытьТаблица простых чиселПростые до 10 000, решето Эратосфена до 100, проверка числа до триллиона, разложение на множители, соседние простые и печать.
ОткрытьКомбинаторика: перестановки, размещения, сочетанияФакториал, перестановки, размещения и сочетания с повторениями и без, формулы и ход вычисления, большие числа без переполнения.
ОткрытьИзвлечь кореньКвадратный, кубический и корень любой степени с выносом множителя: √72 приводится к 6√2. Кубический из отрицательного числа существует.
ОткрытьЕщё инструменты для математики
Проценты и пропорции, дроби, степени и корни, логарифмы, НОД и НОК, уравнения, средние и разброс, площади фигур — в разделе 48 инструментов.