ПаветтаПлощадь и периметр фигур
Восемь фигур в одном окне: квадрат, прямоугольник, треугольник, круг, кольцо, трапеция, параллелограмм и правильный многоугольник.
Единицы подставляются в подписи и не меняют арифметику: считайте всё в одной мерке, и площадь выйдет в её квадратах.
Формулы, по которым идёт расчёт
| Фигура | Площадь | Периметр |
|---|---|---|
| Квадрат | a² | 4a |
| Прямоугольник | a · b | 2 · (a + b) |
| Треугольник по основанию | a · h / 2 | по трём сторонам |
| Треугольник по трём сторонам | √(p · (p − a) · (p − b) · (p − c)), p — полупериметр | a + b + c |
| Круг | π · r² | 2 · π · r |
| Кольцо | π · (R² − r²) | 2 · π · (R + r) |
| Трапеция | (a + b) / 2 · h | a + b + c + d |
| Параллелограмм | a · h | 2 · (a + b) |
| Правильный многоугольник | n · a² / (4 · tg(180° / n)) | n · a |
Восемь фигур и их формулы
Калькулятор считает площадь и периметр восьми фигур: квадрата, прямоугольника, треугольника по основанию и высоте или по трём сторонам, круга, кольца, трапеции, параллелограмма и правильного многоугольника с любым числом сторон. Единицы длины выбираются, и площадь выводится в соответствующих квадратных единицах с переводом в соседние.
Формулы показаны под расчётом, а для треугольника по трём сторонам работает формула Герона с проверкой, существует ли такой треугольник вообще: стороны 1, 2 и 10 его не образуют, и калькулятор это объяснит.
| Фигура | Площадь | Периметр |
|---|---|---|
| Прямоугольник | a · b | 2(a + b) |
| Треугольник | a · h / 2 или по Герону | a + b + c |
| Круг | πr² | 2πr |
| Кольцо | π(R² − r²) | 2π(R + r) |
| Трапеция | (a + b) / 2 · h | a + b + c + d |
| Правильный n-угольник | n · a² / (4 · tg(π/n)) | n · a |
История: от землемеров Нила до квадратного метра
Площади считали раньше, чем доказывали: египетские писцы в папирусе Ринда находят площадь поля и круга, причём круг они брали как квадрат со стороной в восемь девятых диаметра, что даёт π около 3,16. Слово «геометрия» и значит «землемерие»: после каждого разлива Нила наделы размечали заново. Греки превратили рецепты в теоремы: «Начала» Евклида доказывают, что треугольник равновелик половине параллелограмма, а Архимед нашёл площадь круга через многоугольники.
Формулу площади треугольника по трём сторонам изложил Герон Александрийский в «Метрике» в I веке, хотя знал её, возможно, ещё Архимед; индиец Брахмагупта в 628 году обобщил её на вписанный четырёхугольник. Единицы площади до метрической системы были земледельческими: десятина, акр, «сколько вспашешь за день», и только квадратный метр 1795 года связал площадь с длиной напрямую.
Как считать и не путать единицы
Выберите фигуру, введите размеры в одних единицах и прочитайте площадь, периметр и формулу. Для треугольника по трём сторонам проверьте неравенство треугольника: сумма двух сторон должна быть больше третьей. Для кольца внутренний радиус меньше внешнего, для трапеции указываются оба основания и высота.
Единицы переводятся автоматически: площадь в сантиметрах делится на 10 000, чтобы получить метры, и это то место, где чаще всего ошибаются вручную. Прямоугольный треугольник со всеми его величинами считает отдельный калькулятор, объёмы тел — калькулятор объёмов, а окружность во все стороны — длина окружности.
| Фигур | 8 |
| Единицы | мм, см, м, км |
| Формулы | показаны |
| Формула Герона | с проверкой |
| Папирус Ринда | ≈1550 до н. э. |
| «Начала» | ≈300 до н. э. |
| Герон | I век |
| Квадратный метр | 1795 |
Как пользоваться
Треугольник считается двумя способами — по основанию с высотой и по трём сторонам через формулу Герона, — и второй способ проверяет, существует ли такой треугольник вообще. Стороны 1, 2 и 10 не сомкнутся ни при каком старании: сумма двух коротких сторон меньше длинной, и Герон в этом месте выдаёт корень из отрицательного числа. Калькулятор ловит это заранее и говорит словами вместо NaN. Периметр появляется там, где введённых размеров для него хватает. У треугольника по основанию и высоте его нет: одну и ту же площадь дают тысячи разных треугольников. У трапеции для периметра нужны боковые стороны, и поля для них рядом.
- Восемь вкладок, у треугольника два способа расчёта.
- Точка и запятая работают одинаково.
- Рядом идут диагональ, средняя линия и другие величины фигуры.
Частые вопросы
Почему периметр иногда остаётся прочерком
Он появляется, когда по введённым размерам его действительно можно найти. Треугольник по основанию и высоте задан неполно: площадь 20 при основании 10 дают и равнобедренный треугольник, и вытянутый тупоугольный, а периметры у них разные. Как только вы переходите на расчёт по трём сторонам, периметр появляется. У трапеции похожая история: основания и высота дают площадь, а для периметра нужны ещё две боковые стороны, и поля для них есть на той же вкладке. У параллелограмма для периметра нужна вторая сторона рядом с высотой.
Почему стороны 1, 2 и 10 не образуют треугольник
Сумма двух сторон должна превышать третью, а 1 + 2 = 3 до десятки не дотягивается — отрезки просто не сомкнутся. Формула Герона в этом случае берёт корень из отрицательного числа и возвращает NaN, поэтому неравенство проверяется до расчёта. Пограничный набор 1, 2, 3 тоже отбраковывается: стороны ложатся на одну прямую, площадь равна нулю, треугольника нет. Для расчёта катетов и углов пригодится прямоугольный треугольник, а для стен и пола комнаты — калькулятор площади комнаты.
Как считаются кольцо и правильный многоугольник
Кольцо — это разность двух кругов: π умножается на разность квадратов радиусов. При внешнем радиусе 2 и внутреннем 1 площадь равна 9,4248, ровно втрое больше круга радиуса 1. Периметром кольца считается сумма обеих окружностей, потому что контур у фигуры двойной. Правильный многоугольник берётся по формуле n·a²/(4·tg(180°/n)): шестиугольник со стороной 1 даёт 2,5981, а при n = 4 то же выражение превращается в обычный квадрат — сторона 2 даёт площадь 4.
Когда удобнее считать треугольник по трём сторонам
Когда до высоты не добраться. Три стороны меряются рулеткой прямо по контуру — участок земли, кусок стены, треугольный лоскут, — а высота требует опустить перпендикуляр из вершины, и у тупоугольного треугольника его основание выходит за пределы стороны. Набор 8, 5 и 5 даёт площадь 12, и вместе с ней калькулятор показывает высоту к стороне 8: она равна 3. Способ легко проверить на прямоугольном треугольнике — стороны 6, 8 и 10 дают по Герону те же 24, что и половина произведения катетов.
Как правило существования треугольника звучит в общем виде
Сумма любых двух сторон больше третьей, и достаточно сравнить самую длинную с суммой двух оставшихся. Удобнее держать в голове вторую формулировку того же правила: при известных сторонах 4 и 7 третья лежит строго между 3 и 11, то есть между их разностью и суммой. Крайние значения выпадают — при 3 и при 11 стороны ложатся на одну прямую и площадь обнуляется. Набор 4, 7 и 10,9 треугольник ещё образует, а 4, 7 и 11 — уже нет.
Как посчитать площадь сложной фигуры
Разрежьте её на простые части, посчитайте каждую и сложите; вырезы вычитаются. Комната 5 × 4 метра с вырезанным под шахту углом 1 × 1,5 даёт 20 − 1,5 = 18,5 м². Дверной проём с арочным верхом складывается из прямоугольника 1 × 2 м и половины круга радиусом 0,5 м: 2 + 0,3927 = 2,3927 м². Периметры частей складывать нельзя — их придётся считать отдельно по внешнему контуру, потому что линии разреза внутри фигуры в него не входят.
Почему периметр круга называют длиной окружности
Периметр — это длина границы фигуры, а границей круга служит окружность, поэтому у неё своё имя и своя формула 2πr. Отношение длины окружности к диаметру одинаково для любого круга и равно π: при радиусе 2 окружность тянет на 12,5664, диаметр равен 4, деление даёт 3,1416. То же число стоит в формуле площади πr², и у круга радиуса 2 оба ответа совпадают по значению — 12,5664, — хотя меряются они в разных единицах: длина в линейных, площадь в квадратных.
Спросите нейросети об инструменте
Похожие инструменты
Гипотенуза, катеты, углы, площадь и радиусы по любым двум величинам. С чертежом и решением по шагам.
ОткрытьКалькулятор объёмовОбъём и площадь поверхности восьми тел от куба до усечённого конуса, с переводом в литры: куб со стороной 10 см вмещает ровно литр.
ОткрытьДлина окружностиРасчёт по радиусу, диаметру или площади и обратный ход. Колесо диаметром 66 см делает на километре 482 оборота.
ОткрытьКалькулятор площади комнатыПол, потолок, периметр, стены за вычетом окон и дверей и объём. Есть режим для комнаты Г-образной формы.
ОткрытьКомпас онлайнСтороны света и азимут по датчику телефона, роза ветров с 16 румбами, направление и расстояние до Мекки или любых координат, заморозка показаний.
ОткрытьСоздать этикеткуЭтикетка на товар, бутылку и банку: название, состав, вес, дата, изготовитель, штрихкод EAN-13 или Code 128, логотип, четыре оформления. Размеры под термопринтер и листы A4, PNG 300 dpi и PDF с сеткой.
ОткрытьЕщё инструменты для математики
Проценты и пропорции, дроби, степени и корни, логарифмы, НОД и НОК, уравнения, средние и разброс, площади фигур — в разделе 48 инструментов.