Калькулятор треугольника
Введите три стороны, две стороны и угол между ними или сторону с двумя углами: калькулятор найдёт остальные стороны и углы, периметр и площадь, высоты, медианы, биссектрисы, радиусы вписанной и описанной окружностей и нарисует треугольник в масштабе. Каждый шаг решения показан формулой с подставленными числами: теорема косинусов, теорема синусов, формула Герона.
Что считает калькулятор и по каким формулам
Калькулятор берёт три известные величины и достраивает всё остальное. По трём сторонам он находит углы теоремой косинусов, по двум сторонам и углу между ними считает третью сторону, по стороне и двум углам восстанавливает остальные стороны теоремой синусов. Дальше одинаково для всех режимов: периметр, площадь по формуле Герона, высоты, медианы, биссектрисы и радиусы вписанной и описанной окружностей.
Чертёж строится в масштабе: вершина A в начале, сторона c по горизонтали, вершина C по углу A, поэтому тупоугольный треугольник действительно выглядит тупоугольным, а равнобедренный симметричным. Каждый шаг решения показан формулой с подставленными числами, и его можно переписать в тетрадь.
| Величина | Формула | Когда применяется |
|---|---|---|
| Третья сторона | c² = a² + b² − 2ab·cos C | Теорема косинусов: две стороны и угол между ними. |
| Углы по сторонам | cos A = (b² + c² − a²) / 2bc | Та же теорема, решённая относительно угла. |
| Стороны по углам | a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R | Теорема синусов: сторона и два угла, заодно даёт радиус описанной окружности. |
| Площадь | S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)), p = (a+b+c)/2 | Формула Герона по трём сторонам; при известном угле S = ab·sin C / 2. |
| Высота | h_a = 2S / a | Из площади, к любой стороне. |
| Медиана | m_a = ½√(2b² + 2c² − a²) | К стороне a, из теоремы косинусов. |
| Биссектриса | l_a = 2bc·cos(A/2) / (b + c) | Из вершины A. |
| Радиусы | r = S / p, R = abc / 4S | Вписанной и описанной окружностей. |
История: от верёвки землемера до Дуги Струве
Треугольник измеряли раньше, чем доказывали. Египетские землемеры натягивали верёвку с узлами через 3, 4 и 5 отрезков, чтобы получить прямой угол после разлива Нила, вавилоняне держали таблицы пифагоровых троек, а греки превратили приёмы в науку: Фалес измерил высоту пирамиды по тени, Пифагор дал теореме имя, Евклид около 300 года до нашей эры собрал всё в «Начала», где во второй книге в геометрическом виде стоит и теорема косинусов. Герон Александрийский в первом веке записал формулу площади по трём сторонам; арабские источники приписывают её Архимеду.
Теорема синусов родилась из астрономии: её сформулировали математики исламского мира в десятом веке, а Насир ад-Дин ат-Туси в тринадцатом впервые изложил тригонометрию как отдельную науку. Современный вид теореме косинусов придал Джемшид аль-Каши в Самарканде в пятнадцатом веке, во Франции её до сих пор называют его именем. Региомонтан в 1464 году написал первую европейскую книгу о решении треугольников, и с неё началась навигация по звёздам.
Решение треугольников стало главным инструментом картографии. Виллеброрд Снеллиус в 1615 году измерил расстояние между двумя голландскими городами цепочкой треугольников, а Василий Струве в 1816–1855 годах провёл дугу из 258 треугольников длиной 2 820 километров от Хаммерфеста до Черного моря, чтобы измерить форму Земли; её пункты сегодня в списке ЮНЕСКО. Ту же геометрию используют спутниковая навигация, где положение приёмника находят по расстояниям до спутников, и трёхмерная графика, где любая поверхность собирается из треугольников.
Какой режим выбрать и как читать ответ
Выбирайте режим по тому, что дано в задаче. Три стороны — теорема косинусов, при этом калькулятор сначала проверит неравенство треугольника. Две стороны и угол между ними — третья сторона по косинусам, остальные углы по синусам. Сторона и два угла — третий угол из суммы 180°, стороны по теореме синусов. Случай двух сторон и угла не между ними намеренно не включён: у него бывает два решения, и без чертежа такую задачу решать неправильно.
Единицы измерения не важны: введите сантиметры, получите сантиметры и квадратные сантиметры. Углы вводятся в градусах, дробные части через точку или запятую, а результаты округлены до тысячных. Если в задаче нужен точный ответ вроде 5√3, подберите его по числу: 8,660 из чертежа это и есть 5√3.
| Режимов | 3 |
| Теорем в шагах | косинусов, синусов |
| Площадь | по Герону |
| Высот, медиан, биссектрис | по 3 |
| Радиусов | 2 |
| Проверка существования | да |
| Чертёж | в масштабе |
| Случай SSA | не решается |
Какие формулы считает калькулятор
Калькулятор определяет вид треугольника по углам и сторонам и проверяет, существует ли он: сумма двух сторон должна быть больше третьей, а сумма углов равна 180°. Для прямоугольного треугольника с катетами и гипотенузой есть отдельный калькулятор с теоремой Пифагора. Проверено 06.09.2026.
Как пользоваться
- Три стороны, две стороны и угол между ними или сторона и два прилежащих угла. Единицы любые, ответ в тех же.
- Стороны и углы в градусах, дробные через точку или запятую. Чертёж и результаты обновляются сразу.
- Вид треугольника, углы, периметр, площадь, радиусы и таблица высот, медиан и биссектрис к каждой стороне.
- Под таблицей каждая формула с подставленными числами: их можно переписать в тетрадь как решение.
Частые вопросы
Как найти углы треугольника по трём сторонам
По теореме косинусов: cos A = (b² + c² − a²) / (2bc), где a — сторона против угла A. Дальше арккосинус даёт угол, второй угол считается так же, третий из суммы 180°. Калькулятор показывает эти вычисления в шагах.
Как считается площадь
По формуле Герона через полупериметр p: S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)). Когда известны две стороны и угол между ними, та же площадь получается как ab·sin C / 2, а высоты выводятся из площади: h = 2S / сторона.
Почему калькулятор пишет, что треугольника нет
Стороны 1, 2 и 5 не сложатся: сумма двух коротких сторон меньше длинной, и вершины не сойдутся. Условие существования: любая сторона меньше суммы двух других. Для углов условие одно: сумма двух заданных углов меньше 180°.
Что такое вписанная и описанная окружности
Вписанная касается всех трёх сторон изнутри, её радиус r = S / p. Описанная проходит через все вершины, её радиус R = abc / (4S). У прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, и R равен её половине.
Как считаются медианы и биссектрисы
Медиана к стороне a: m = ½·√(2b² + 2c² − a²). Биссектриса угла A: l = 2bc·cos(A/2) / (b + c). Обе формулы выводятся из теоремы косинусов, калькулятор считает их для всех трёх сторон.
Можно ли задать две стороны и угол не между ними
Такая задача имеет два решения или ни одного, поэтому здесь её нет. Введите угол между сторонами или сторону с двумя углами, а для прямоугольного треугольника воспользуйтесь отдельным калькулятором.
Данные куда-то отправляются
Нет, всё считается в браузере.
Похожие инструменты
Гипотенуза, катеты, углы, площадь и радиусы по любым двум величинам. С чертежом и решением по шагам.
ОткрытьНОД и НОКНаибольший общий делитель и наименьшее общее кратное с разложением на множители и алгоритмом Евклида. Сокращает дроби до несократимых.
ОткрытьТаблица умножения: тренажёрТренажёр по столбикам на время или на количество с возвратом ошибок и картой слабых столбиков, интерактивная таблица Пифагора, лист примеров и диплом на печать.
ОткрытьКалькулятор дробейВыражения со скобками и смешанными числами, точная арифметика и решение по действиям как в тетради.
ОткрытьКалькулятор логарифмовЛогарифм по любому основанию, десятичный, натуральный и двоичный. Показывает смысл: log₂ 8 равен 3, потому что 2³ даёт 8.
ОткрытьДеление в столбикДеление уголком с каждым шагом: целые и с остатком, десятичные до нужного знака, проверка умножением. Запись как в тетради.
ОткрытьЕщё инструменты для SEO и маркетинга
Кластеризатор запросов, генераторы sitemap и robots.txt, минус-слова, разметка Schema.org и калькуляторы — в разделе инструментов.