Извлечь корень

Через разложение на простые множители. Число 144 разбирается на 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3; для квадратного корня множители собираются в пары, каждая пара даёт один множитель наружу: 2 · 2 · 3 = 12. Если пары остались неполными, корень нацело не идёт, и тогда наружу выходит только собранная часть, остальное остаётся внутри. Второй приём годится для устной оценки: √50 зажат между √49 = 7 и √64 = 8, и раз 50 почти вплотную к 49, ответ близок к семи — 7,07.

Дело в чётности степени. Квадрат любого действительного числа неотрицателен: и 3² = 9, и (−3)² = 9, поэтому числа, дающего в квадрате −9, среди действительных нет. С нечётной степенью знак сохраняется: (−3)³ = −27, значит ∛(−27) = −3 существует и единственный. Отсюда общее правило: корень чётной степени определён для неотрицательных чисел, корень нечётной степени — для любых. Комплексные числа этот калькулятор не трогает.

Подкоренное число раскладывается на два сомножителя, один из которых полный квадрат. Для 72 это 36 · 2, и корень распадается: √72 = √36 · √2 = 6√2. Формально работает через показатели простых множителей: 72 = 2³ · 3², каждая полная пара уходит наружу — двойка и тройка дают 6, лишняя двойка остаётся под корнем. Для кубического корня множители собираются тройками: 54 = 2 · 3³, тройка выходит наружу, двойка остаётся, получается ∛54 = 3∛2. Калькулятор показывает такую запись отдельной строкой.

Корню числителя, делённому на корень знаменателя: √(9/16) = √9 / √16 = 3/4. С десятичной дробью то же самое, только удобнее сначала перевести её в обыкновенную: √0,25 = √(1/4) = 1/2 = 0,5. Ловушка поджидает с дробями меньше единицы — корень из них становится больше исходного числа: √0,25 = 0,5, и 0,5 заметно крупнее 0,25. Действия с обыкновенными дробями считает калькулятор дробей.

Корень — это степень с дробным показателем: ⁿ√a = a^(1/n). Квадратный корень равен степени 1/2, кубический — степени 1/3, и любое действие со степенями переносится на корни. Отсюда сразу видно, почему ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n): 8^(2/3) = ∛(8²) = ∛64 = 4. Обратный ход считает калькулятор степени, он же разбирает, почему запись (−8)^(1/3) в школьной математике не используется, притом что ∛(−8) = −2 существует.

По соседним квадратам из таблицы внизу. √30 лежит между √25 = 5 и √36 = 6; тридцать ближе к двадцати пяти, значит ответ около 5,5 — точное значение 5,477. Для кубических корней та же логика по кубам: ∛100 сидит между ∛64 = 4 и ∛125 = 5, ближе к пятёрке, и правда выходит 4,642. Приём выручает, когда нужно быстро проверить, похож ли ответ на правду.

Браузер держит около пятнадцати значащих цифр, поэтому поле точности ограничено двенадцатью знаками после запятой — дальше начинается мусор округления. Для школьных задач хватает трёх-четырёх знаков, а там, где нужна абсолютная точность, ответ оставляют в виде корня: 6√2 точнее любой десятичной записи, потому что √2 в десятичном виде бесконечен. Все расчёты идут в браузере, введённые числа никуда не отправляются.