Главная›Инструменты›Учёба и расчёты›Математика и учёба›Калькулятор комбинаторики

Калькулятор комбинаторики

В комбинаторике три вопроса, и ошибка обычно в выборе между ними: важен ли порядок и можно ли повторять. Если берём k из n и порядок важен — размещения A(n, k) = n! ÷ (n − k)!; не важен — сочетания C(n, k) = n! ÷ (k!

n — всего объектов

k — выбираем

Что считаем

Какую формулу выбрать. Выбираем k из n и порядок важен (места, должности, номера) — размещения A. Порядок не важен (команда, набор, комиссия) — сочетания C. Переставляем все n — перестановки P. Один объект можно брать несколько раз — формулы с повторениями.

—

Все величины для этих n и k

P(n) = n!; A(n, k) = n! ÷ (n − k)!; C(n, k) = n! ÷ (k!(n − k)!); с повторениями: n^k и C(n + k − 1, k). Длинная арифметика, n до 1 000. Проверено 04.09.2026.

Пять величин и как выбрать формулу

Калькулятор считает пять величин комбинаторики: перестановки P(n), размещения A(n, k), сочетания C(n, k), а также размещения и сочетания с повторениями, и показывает ход вычисления с сокращением факториалов. Ответ точный, без округления, даже когда в нём десятки знаков, а таблица ниже даёт все величины для введённых n и k сразу.

Главная трудность в комбинаторике — выбрать формулу, и калькулятор задаёт два вопроса: важен ли порядок и можно ли повторять. Порядок важен — размещения, не важен — сочетания, берём все — перестановки, элементы могут повторяться — формулы с повторениями.

Блез Паскаль: «Трактат об арифметическом треугольнике» 1654 года связал сочетания с треугольником чисел. Фото: Викисклад, общественное достояние.

Величина	Формула	Пример	Ответ
Перестановки P(n)	n!	Расставить 5 книг на полке	120
Размещения A(n, k)	n! / (n − k)!	Золото, серебро, бронза среди 8 бегунов	336
Сочетания C(n, k)	n! / (k!(n − k)!)	Выбрать 6 чисел из 45 в лотерее	8 145 060
Размещения с повторениями	nᵏ	Код из 4 цифр	10 000
Сочетания с повторениями	C(n + k − 1, k)	Купить 3 пирожка из 4 видов	20

История: треугольник, который открывали трижды

Треугольник, в котором каждое число равно сумме двух над ним, знали в Индии у Пингалы за два века до нашей эры для подсчёта стихотворных размеров, в Персии у аль-Караджи в XI веке и в Китае у Цзя Сяня, чей рисунок сохранил Ян Хуэй в 1261 году. Паскаль в 1654 году в переписке с Ферма об азартных играх связал треугольник с сочетаниями и вероятностью, и в Европе треугольник носит его имя.

Слова «перестановки» и «сочетания» и первые общие формулы дал Якоб Бернулли в «Искусстве предположений», изданном в 1713 году после его смерти, там же появилось и понятие комбинаторики как раздела математики. Знак факториала n! ввёл Кристиан Крамп в 1808 году, объясняя, что восклицательный знак удобно набирать в типографии. Сегодня формулы работают в лотереях, генетике, шифровании и подсчёте паролей: код из четырёх цифр перебирается за 10 000 попыток, из восьми символов с буквами — за квадриллионы.

Треугольник Ян Хуэя, 1261 год: тот же треугольник за четыре века до Паскаля. Фото: Викисклад, общественное достояние.

Как считать и проверять порядок величины

Введите n и k, выберите, что считаете, и читайте ответ с ходом вычисления: калькулятор сокращает факториалы, чтобы было видно, откуда взялось число. Если сомневаетесь в формуле, ответьте на два вопроса: важен ли порядок выбранных и можно ли брать один элемент дважды; таблица ниже показывает все пять величин, и обычно правильная узнаётся по порядку величины.

Для вероятности события делите число благоприятных исходов на общее: шанс угадать 6 из 45 равен 1 к 8 145 060. Факториалы больших чисел калькулятор считает точно, без приближения Стирлинга, поэтому 100! выводится всеми 158 знаками. Вероятности с распределениями считает калькулятор вероятности.

Величин	5
Точность	без округления
Ход вычисления	с сокращением
Треугольник	Пингала, ≈200 до н. э.
Ян Хуэй	1261
Паскаль	1654
Бернулли	1713
Знак n!	Крамп, 1808

(n − k)!); переставляем все n — перестановки P(n) = n!.

Как пользоваться

С повторениями формулы меняются: размещения n^k, сочетания C(n + k − 1, k). Калькулятор считает все шесть величин по n и k, показывает формулу и ход с сокращением факториалов и выдаёт точный результат даже там, где обычный калькулятор пишет «бесконечность»: 100! — это 158 цифр, и они все на месте. Рядом подсказка, какую формулу выбрать по условию задачи. Проверено 04.09.2026.

n — сколько всего объектов, k — сколько выбираем или расставляем.
По двум вопросам: важен ли порядок, допустимы ли повторы. Подсказка под калькулятором.
Факториалы сокращаются, остаётся короткое произведение — так и надо писать в решении.
Большие числа выводятся целиком, с разбиением на разряды; их можно скопировать.

Частые вопросы

Чем размещения отличаются от сочетаний

Порядком. Выбрать капитана и вратаря из 11 игроков — размещение, порядок важен: A(11, 2) = 110. Выбрать двоих для поездки — сочетание, порядок не важен: C(11, 2) = 55. Сочетаний всегда в k! раз меньше.

Как считать факториал больших чисел

Перемножением по порядку, но в обычной арифметике с плавающей точкой уже 171! не помещается. Калькулятор считает в длинной арифметике, поэтому 100! = 93 326 215 443 944 152 681 … — все 158 цифр точные.

Что такое сочетания с повторениями

Выбор k предметов из n видов, когда предметы одного вида неразличимы и вид можно брать несколько раз: сколько способов купить пять пирожных из трёх сортов — C(3 + 5 − 1, 5) = C(7, 5) = 21.

Как быстро сокращать факториалы

n! ÷ (n − k)! — это произведение k подряд идущих чисел от n вниз: A(10, 3) = 10 × 9 × 8 = 720. Для C(n, k) делим это на k!: 720 ÷ 6 = 120. Калькулятор показывает ровно эту запись.

Почему 0! равен 1

По определению и по смыслу: пустое множество можно упорядочить единственным способом. Благодаря этому формулы работают при k = 0 и k = n без исключений.

Что делать, если k больше n

Без повторений выбрать больше объектов, чем есть, нельзя: A и C равны нулю. С повторениями можно: размещений n^k, сочетаний C(n + k − 1, k).

Спросите нейросети об инструменте

Отвечает DeepSeek по данным этой страницы и тому, что у вас сейчас на экране: методика, ваш результат, ограничения

Ещё инструменты для математики

Проценты и пропорции, дроби, степени и корни, логарифмы, НОД и НОК, уравнения, средние и разброс, площади фигур — в разделе 48 инструментов.

Математика и учёба Все калькуляторы