Перевод чисел между системами счисления

Целую часть делят на два и записывают остатки, читая их снизу вверх: 13 даёт остатки 1, 0, 1, 1 и превращается в 1101. Дробную часть умножают на два и снимают целые части сверху вниз: 0,625 после умножений даёт 1,25 → 0,5 → 1,0, то есть цифры 1, 0, 1 и запись 0,101. Сложить обратно проще: 1101 — это 8 + 4 + 0 + 1, а 0,101 — это половина плюс одна восьмая.

Дробь записывается конечным числом знаков только тогда, когда основание системы делится на все простые множители её знаменателя. Одна десятая — это 1/10, в десятке сидит множитель 5, а в степенях двойки пятёрки нет, поэтому получается бесконечная периодическая дробь 0,000110011… Половина, четверть и восьмая переводятся точно: их знаменатели сами степени двойки. Из этой особенности растут знаменитые копеечные расхождения в денежных расчётах.

Любое целое от 2 до 36. Верхняя граница берётся из набора знаков: десять цифр плюс двадцать шесть латинских букв дают ровно тридцать шесть значений на один разряд, и для основания 37 символа уже не хватит. В системе с основанием 36 число 1295 записывается как ZZ, а 100 — как 2S.

Она укладывается в двоичную без остатка: шестнадцать — это два в четвёртой степени, поэтому один шестнадцатеричный знак покрывает ровно четыре двоичных разряда, и байт из восьми бит записывается двумя знаками. Запись 11111111 превращается в FF, обратный перевод идёт по таблице без единого деления. Восьмеричный знак покрывает три разряда, в восемь бит такая тройка целиком уложиться уже отказывается, и байт приходится писать тремя знаками с укороченным старшим.

Это пометки основания, принятые в языках программирования: 0x означает шестнадцатеричную запись, 0b — двоичную, 0o — восьмеричную. Нужны они потому, что запись 10 без пометки читается как десять в десятичной системе, как два в двоичной и как шестнадцать в шестнадцатеричной. В языке C восьмеричное число обозначал один ведущий ноль, из-за чего 010 там значит восемь — источник классических опечаток, поэтому в Python приставке дали явный вид 0o. Калькулятор все три отбрасывает сам, когда основание им соответствует.

Цвет собирается из трёх каналов — красного, зелёного и синего, — и каждому отведён ровно один байт, то есть два шестнадцатеричных знака: три по два дают шесть. Байт принимает 256 значений от 00 до FF, вместе получается 256 в кубе, или 16 777 216 сочетаний. Короткая запись из трёх знаков просто удваивает каждый: #C64 разворачивается в #CC6644.

255 — это два в восьмой степени минус один, наибольшее значение, помещающееся в один байт: восемь двоичных единиц подряд, 11111111. Отсюда же берутся 256 значений на канал цвета и верхние границы байтовых полей. 1024 — это два в десятой, ближайшая к тысяче степень двойки; расхождение с круглой тысячей составляет 2,4 %, а на кубе, то есть на гигабайтах, вырастает до 7,4 %, потому что 1024 в третьей степени равно 1 073 741 824.