ПаветтаКалькулятор векторов
Введите координаты двух векторов или концы отрезков: калькулятор посчитает длины, сумму и разность, скалярное и векторное произведение, угол, проекцию, площадь параллелограмма и треугольника, а с третьим вектором — смешанное произведение и объём. Каждый результат сопровождается формулой с подставленными числами, чертёж показывает векторы и параллелограмм суммы.
Что считает калькулятор и формулы
Калькулятор работает с векторами на плоскости и в пространстве: задайте координаты или концы отрезков, и он найдёт длины, сумму и разность, произведение на число, скалярное и векторное произведения, угол между векторами, проекцию одного на другой и площадь параллелограмма на них. Проверки говорят, коллинеарны векторы или перпендикулярны, а чертёж показывает их в осях.
Каждый результат сопровождается формулой и подстановкой. Скалярное произведение — число, и по его знаку видно, острый угол или тупой; векторное — новый вектор, перпендикулярный обоим, и его длина равна площади параллелограмма.
| Величина | Формула | Пример для a = (3, 4), b = (4, 3) |
|---|---|---|
| Длина | √(x² + y²) | |a| = 5 |
| Сумма | (x₁ + x₂, y₁ + y₂) | (7, 7) |
| Скалярное произведение | x₁x₂ + y₁y₂ | 24 |
| Угол | arccos (a·b / |a||b|) | 16,26° |
| Проекция a на b | a·b / |b| | 4,8 |
| Площадь параллелограмма | |x₁y₂ − x₂y₁| | 7 |
История: от моста в Дублине до нейросетей
Векторы родились из попытки умножать точки пространства: ирландец Уильям Гамильтон 16 октября 1843 года, гуляя по Дублину, нашёл формулу кватернионов и нацарапал её на камне моста Брум. В его кватернионе была «скалярная» и «векторная» части, и оба слова остались в математике. Одновременно немец Герман Грассман построил общее учение о протяжённостях, которое современники не поняли.
Нынешний вид с двумя произведениями, скалярным и векторным, векторам придали в 1880-е американец Джозайя Гиббс и англичанин Оливер Хевисайд, выбросив из кватернионов лишнее ради физики: уравнения Максвелла в векторной записи занимают четыре строки. С тех пор векторы — язык механики, навигации, трёхмерной графики и машинного обучения, где слово или картинка становятся вектором из тысяч координат.
Как вводить векторы
Введите координаты векторов или начала и концы отрезков, для пространства добавьте третью координату. Результаты появятся списком с формулами, чертёж покажет векторы в осях, а поле k даёт умножение на число. Векторное произведение на плоскости считается как число, площадь параллелограмма, в пространстве — как вектор.
Угол между векторами всегда от 0 до 180°; если нужен ориентированный угол, смотрите на знак векторного произведения. Матричные операции, включая определители, которыми считается векторное произведение, выполняет калькулятор матриц, а треугольник по векторам сторон — калькулятор треугольника.
| Пространство | 2D и 3D |
| Величин | 10 |
| Чертёж | да |
| Проверки | коллинеарность, перпендикулярность |
| Кватернионы | Гамильтон, 1843 |
| Грассман | 1844 |
| Векторный анализ | Гиббс, Хевисайд, 1880-е |
| Данные на сервер | не уходят |
Проверено 05.09.2026.
Как пользоваться
- Плоскость с двумя координатами или пространство с тремя. Векторное и смешанное произведения считаются в пространстве.
- Координатами x, y, z или двумя точками: вектор AB получается вычитанием координат начала из координат конца. Третий вектор нужен для объёма.
- Каждая величина с формулой и подстановкой: длина, произведения, косинус и угол, проекция, площади и объём.
- Векторы из начала координат, параллелограмм суммы и разность; в пространстве — проекция на плоскость с осями.
Частые вопросы
Какие формулы использует калькулятор
Длина — корень из суммы квадратов координат. Скалярное произведение — сумма попарных произведений координат, косинус угла — скалярное произведение, делённое на произведение длин. Векторное произведение в пространстве считается определителем по координатам, его длина равна площади параллелограмма, половина — площади треугольника. Смешанное произведение трёх векторов — определитель третьего порядка, его модуль равен объёму параллелепипеда, шестая часть — объёму тетраэдра.
Как задать вектор по двум точкам
Переключите ввод на точки и впишите координаты начала A и конца B: вектор AB равен B минус A по каждой координате. Так удобно решать задачи про стороны треугольника и медианы.
Что показывают проверки
Коллинеарность: координаты пропорциональны, векторное произведение равно нулю. Перпендикулярность: скалярное произведение равно нулю. Компланарность трёх векторов: смешанное произведение равно нулю.
Где ещё считать по геометрии
Площадь и периметр фигур, калькулятор матриц для определителей и график функции.
Спросите нейросети об инструменте
Похожие инструменты
Сложение, вычитание и умножение матриц, умножение на число, транспонирование, определитель, обратная матрица и ранг для матриц до 5×5.
ОткрытьКалькулятор треугольникаПо трём сторонам, двум сторонам и углу или стороне и двум углам: углы, площадь, высоты, медианы, биссектрисы, радиусы окружностей, чертёж в масштабе и решение по шагам.
ОткрытьГрафик функцииПостроение графика по формуле: до восьми функций своими цветами, зум и панорамирование, координаты под курсором, нули, экстремумы и пересечения, таблица значений, производная и интеграл, PNG и ссылка.
ОткрытьУпростить выражениеРаскрыть скобки, привести подобные, сократить дробь, разложить на множители, взять производную и интеграл: шаги, запись как в учебнике, проверка подстановкой.
ОткрытьНОД и НОКНаибольший общий делитель и наименьшее общее кратное с разложением на множители и алгоритмом Евклида. Сокращает дроби до несократимых.
ОткрытьДеление в столбикДеление уголком с каждым шагом: целые и с остатком, десятичные до нужного знака, проверка умножением. Запись как в тетради.
ОткрытьЕщё инструменты для математики
Проценты и пропорции, дроби, степени и корни, логарифмы, НОД и НОК, уравнения, средние и разброс, площади фигур — в разделе 48 инструментов.