Калькулятор факториала
Считает n! целиком: не 9,33·10¹⁵⁷, а все 158 цифр подряд. Заодно показывает, сколько в числе знаков, сколько нулей на конце и из каких простых множителей оно собрано.
Разложение на простые множители
Показатель степени каждого простого p в n! считается по формуле Лежандра: сумма целых частей n/p, n/p², n/p³ и так далее. Отсюда же берётся число нулей на конце — это показатель пятёрки.
| Простое p | Показатель | Как получился |
|---|
Таблица факториалов от 0 до 30
| n | n! | Знаков | Нулей на конце | n!! |
|---|
Что считает калькулятор и почему все цифры целиком
Факториал числа n — это произведение всех целых чисел от одного до n, и растёт он быстрее любой степени: 10! чуть больше трёх миллионов, 20! уже больше двух квинтиллионов, а 100! содержит 158 цифр. Обычные калькуляторы на этом сдаются и показывают степень десятки. Здесь считаются все цифры до последней.
Расчёт идёт целочисленной арифметикой произвольной точности, поэтому округления нет вовсе. Вместе с самим числом инструмент показывает количество знаков, нули на конце, разложение на простые множители по формуле Лежандра и приближение по формуле Стирлинга с относительной ошибкой. Рядом считаются двойной факториал, размещения и сочетания. Таблица от нуля до тридцати идёт следом: по ней видно, как число знаков растёт сначала по одному, а после двадцати сразу по два за шаг, и почему перебор всех вариантов перестаёт быть выполнимым уже на второй десятке элементов.
| n | n! | Знаков | Нулей на конце |
|---|---|---|---|
| 5 | 120 | 3 | 1 |
| 10 | 3 628 800 | 7 | 2 |
| 20 | 2,4329·10¹⁸ | 19 | 4 |
| 52 | 8,0658·10⁶⁷ | 68 | 12 |
| 100 | 9,3326·10¹⁵⁷ | 158 | 24 |
История: от перестановок букв до восклицательного знака
Считать перестановки начали задолго до появления знака. Индийский математик Бхаскара II в XII веке приводил правило перебора вариантов, а еврейский трактат «Сефер Йецира» упоминал перестановки букв ещё раньше. В Европе задачу разбирали через треугольник биномиальных коэффициентов, который Блез Паскаль описал в «Трактате об арифметическом треугольнике» 1654 года.
Восклицательный знак придумал француз Кристиан Крамп: он ввёл его в «Началах всеобщей арифметики» 1808 года, заменив громоздкие обозначения предшественников. Знак прижился мгновенно и с тех пор не менялся.
Приближённую формулу для больших факториалов вывели почти одновременно Абрахам де Муавр и Джеймс Стирлинг в конце 1720-х годов; имя закрепилось за вторым. Тогда же Леонард Эйлер нашёл способ продолжить факториал на нецелые числа — так появилась гамма-функция, и выражение «факториал одной второй» получило смысл: он равен корню из пи, делённому на два.
Как пользоваться разложением и что считать рядом
Введите число и посмотрите на сводку справа: количество знаков и нули на конце часто нужнее самого значения. Нули считаются по формуле Лежандра — это количество пятёрок среди множителей, у 100! их двадцать четыре. Таблица разложения показывает, сколько раз каждое простое входит в произведение, и по ней видно, почему факториал делится на всё подряд.
Ограничение в двадцать тысяч стоит из-за времени вывода: 20 000! занимает больше семидесяти семи тысяч цифр. Поле k рядом считает размещения и сочетания из того же n, а это и есть основное практическое применение: сочетаний из 52 карт по 5 ровно 2 598 960, отсюда берутся вероятности в покере. Полное перемешивание той же колоды даёт 52! вариантов — число из 68 цифр, и это больше, чем секунд прошло с Большого взрыва, так что тщательно перетасованная колода почти наверняка складывается в порядок, которого не было ни разу за всю историю карточных игр. Кнопка копирования отдаёт значение без пробелов, чтобы его можно было вставить в другой расчёт. Дальше пригодятся калькулятор комбинаторики и разложение на множители.
| Предел расчёта | 20 000 |
| Знаков в 100! | 158 |
| Знаков в 1000! | 2 568 |
| Нулей на конце 100! | 24 |
| Знак «!» ввёл | Крамп, 1808 |
| Формула Стирлинга | 1730 год |
| Ошибка Стирлинга при n = 10 | около 0,8 % |
| Округлений в расчёте | нет |
Как пользоваться
- Целое от 0 до 20 000; для больших значений расчёт занимает пару секунд.
- Количество знаков, нули на конце, первые и последние цифры, оценка по Стирлингу.
- Все цифры результата с копированием в буфер.
- Двойной факториал, размещения и сочетания считаются рядом из того же n.
Частые вопросы
Почему 0! равен единице
Факториал считает число перестановок: 3! = 6 способов расставить три предмета. Пустое множество расставляется ровно одним способом — ничего не делать, поэтому 0! = 1. Формально это следует из правила n! = n · (n − 1)!: при n = 1 получаем 1! = 1 · 0!, и чтобы равенство выполнялось, 0! обязан быть единицей.
Почему у факториала так много нулей на конце
Ноль в конце появляется от каждого множителя 10, то есть от пары 2 и 5. Двоек в произведении всегда больше, поэтому число нулей равно количеству пятёрок среди множителей и считается по формуле Лежандра: n/5 + n/25 + n/125 и так далее с округлением вниз. У 100! получается 20 + 4 = 24 нуля.
Что показывает формула Стирлинга
Она даёт приближение факториала без перемножения всех чисел: n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ. Относительная ошибка убывает примерно как 1/(12n): уже при n = 10 она около 0,8 %, при n = 100 — меньше 0,1 %. Формулу вывел Джеймс Стирлинг в 1730 году, и она до сих пор основной инструмент оценки факториала в теории вероятностей.
Что такое двойной факториал
n!! перемножает числа через одно: 8!! = 8 · 6 · 4 · 2 = 384, а 7!! = 7 · 5 · 3 · 1 = 105. Обозначение сбивает с толку — это не факториал от факториала. Двойной факториал встречается в интегралах тригонометрических функций и в формулах объёма многомерного шара.
До какого числа считает калькулятор
До 20 000. Ограничение здесь не в точности: все цифры считаются целочисленной арифметикой без потерь, но 20 000! занимает больше 77 тысяч знаков, и браузеру требуется время на перемножение и вывод. Для сравнения: 1000! — это 2 568 цифр.
Существует ли факториал дробного числа
Для нецелых значений факториал продолжается гамма-функцией: Γ(n + 1) = n! для целых n. Например, «факториал» одной второй равен √π/2 ≈ 0,8862. Этот калькулятор работает с целыми числами, потому что смысл перестановок сохраняется только для них.
Где факториал встречается на практике
В комбинаторике: число перестановок n предметов равно n!, число сочетаний из n по k — n!/(k!·(n−k)!). Отсюда он попадает в расчёт вероятностей, в разложение экспоненты и синуса в ряд Тейлора, в оценку сложности перебора: полный перебор 20 городов в задаче коммивояжёра — это 20! маршрутов.
Похожие инструменты
Квадратный, кубический и корень любой степени с выносом множителя: √72 приводится к 6√2. Кубический из отрицательного числа существует.
ОткрытьТаблица БрадисаСинусы, косинусы, тангенсы и котангенсы от 0° до 90° с шагом 6′ и поправками на минуты, значение по углу, угол по значению, печать.
ОткрытьУпростить выражениеРаскрыть скобки, привести подобные, сократить дробь, разложить на множители, взять производную и интеграл: шаги, запись как в учебнике, проверка подстановкой.
ОткрытьДеление в столбикДеление уголком с каждым шагом: целые и с остатком, десятичные до нужного знака, проверка умножением. Запись как в тетради.
ОткрытьНОД и НОКНаибольший общий делитель и наименьшее общее кратное с разложением на множители и алгоритмом Евклида. Сокращает дроби до несократимых.
ОткрытьКалькулятор логарифмовЛогарифм по любому основанию, десятичный, натуральный и двоичный. Показывает смысл: log₂ 8 равен 3, потому что 2³ даёт 8.
ОткрытьЕщё инструменты для математики
Проценты и пропорции, дроби, степени и корни, логарифмы, НОД и НОК, уравнения, средние и разброс, площади фигур — в разделе 47 инструментов.