Длина окружности

π — это отношение длины окружности к её диаметру. Обмотайте нитью банку, распрямите нить, поделите её длину на диаметр донышка — выйдет около 3,14. Возьмите крышку люка или монету — снова 3,14. Одинаково выходит потому, что все окружности подобны: большая получается из маленькой простым увеличением. Растяните чертёж вдвое — длина вырастет вдвое, диаметр вырастет вдвое, их отношение останется прежним. Проверить это можно прямо в калькуляторе: у радиуса 7 длина 43,9823 при диаметре 14, деление даёт 3,1416; у радиуса 0,5 длина 3,1416 при диаметре 1 — то же самое число.

Умножить диаметр на π: C = πd. Диаметр удобнее радиуса тем, что его меряют напрямую линейкой через центр, и на колёсах, трубах и крышках подписан именно он. Труба диаметром 110 мм имеет окружность 345,5752 мм, колесо диаметром 0,66 м — 2,0735 м. Если под рукой только обхват, задача переворачивается: диаметр равен C / π. Обхват ствола 157 см даёт диаметр 49,97 см, то есть примерно полметра.

Поделить длину на 2π, то есть примерно на 6,2832. Длина 31,4159 даёт радиус 5, длина 10 даёт радиус 1,5915. Это тот самый обратный ход, который нужен, когда размер измерен рулеткой по контуру, а в формулу просится радиус: обхват дерева, талия, обод колеса. Считать через диаметр так же законно: сначала d = C / π, потом радиус вдвое меньше.

В два шага. Сначала радиус: r = √(S / π). Потом длина: C = 2πr. Площадь 78,5398 даёт радиус 5 и длину 31,4159. Есть и прямая формула без промежуточного радиуса — C = √(4πS), она получается подстановкой одного в другое. Обратный переход тоже прямой: S = C² / (4π). Такая задача приходит с готовыми площадями — круглая клумба в 12 м² требует 12,2799 м бордюра по краю.

За один оборот колесо проезжает свою окружность, поэтому дистанция делится на πd. Колесо диаметром 0,66 м имеет окружность 2,0735 м, и на километре получается 482 полных оборота и остаток 0,5965 м. Тот же расчёт стоит за велокомпьютером: в его настройках задают длину окружности колеса в миллиметрах — для этого колеса 2073 мм, — а дальше прибор просто считает обороты датчиком и умножает. Ошибка в длине окружности на процент даёт ровно процент вранья в километраже.

Столько же, сколько составляет длина окружности, плюс запас на стык и натяг. Обод радиусом 0,35 м требует 2,1991 м ленты, круглая клумба диаметром 3 м — 9,4248 м бордюра. Бордюрные секции продаются кусками фиксированной длины, поэтому итог округляют вверх: при секции 0,5 м на клумбу уйдёт 19 штук. Для ленты запас берут сверху на перехлёст, обычно несколько сантиметров.

Длина меряется по границе, площадь заполняет внутренность, и меряются они в разных единицах: длина в линейных, площадь в квадратных. Практическая разница видна по задаче. Лента, бордюр, обод, обхват — это длина, C = 2πr. Краска, плитка, газон, крышка — это площадь, S = πr². У круга радиуса 2 оба числа равны 12,5664, и совпадение это чисто числовое: 12,5664 м против 12,5664 м². Площадь и периметр других фигур считает калькулятор площади фигур, объём тел — калькулятор объёмов.