Длина хорды окружности
Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Впишите любые две величины из семи, например радиус и расстояние до центра, и калькулятор найдёт остальные, начертит схему и распишет решение.
Хорды AB и CD пересекаются в точке E. Впишите три отрезка — четвёртый найдётся по теореме AE·EB = CE·ED. Оставьте пустым то, что ищете.
Формулы хорды, дуги и сегмента
R — радиус, c — хорда, α — центральный угол, d — расстояние от центра до хорды, h — высота сегмента, L — длина дуги.
| Что найти | Формула | Когда удобно |
|---|---|---|
| Хорда | c = 2√(R² − d²) | известны радиус и расстояние до центра |
| Хорда | c = 2R·sin(α/2) | известны радиус и центральный угол |
| Хорда | c = 2√(2Rh − h²) | известны радиус и высота сегмента |
| Радиус | R = (c²/4 + h²) / 2h | известны хорда и высота сегмента |
| Расстояние до центра | d = √(R² − c²/4) | известны радиус и хорда |
| Длина дуги | L = πRα / 180° | известны радиус и угол в градусах |
| Площадь сегмента | S = R²(α − sin α) / 2, α в радианах | известны радиус и угол |
| Пересекающиеся хорды | AE·EB = CE·ED | хорды пересекаются внутри круга |
Как калькулятор находит хорду
Все величины хорды выражаются через два параметра — радиус R и центральный угол α. Хорда равна 2R·sin(α/2), расстояние от центра — R·cos(α/2), высота сегмента — R − d, длина дуги — Rα в радианах. Поэтому любые две известные величины однозначно задают окружность, если угол не больше 180°.
Для пар, которые встречаются в задачниках, калькулятор решает по готовым формулам и расписывает подстановку: радиус и расстояние до центра, радиус и хорда, хорда и высота сегмента, радиус и угол. Для редких пар — например, хорда и длина дуги — угол подбирается численно: отношение двух величин меняется с углом монотонно, и деление отрезка пополам находит его с точностью до двенадцатого знака.
Вместе с основными величинами считаются большая дуга, площади сектора и обоих сегментов, вписанные углы на большей и меньшей дугах, длина окружности и площадь круга. Во второй вкладке — теорема о пересекающихся хордах: по трём отрезкам находится четвёртый.
| Известно | Формула | Пример |
|---|---|---|
| R и d | c = 2√(R² − d²) | R = 13, d = 5 → c = 24 |
| R и α | c = 2R·sin(α/2) | R = 6, α = 60° → c = 6 |
| c и h | R = (c²/4 + h²) / 2h | c = 10, h = 2 → R = 7,25 |
| c и d | R = √(d² + c²/4) | c = 24, d = 5 → R = 13 |
| отрезки хорд | AE·EB = CE·ED | 4 · 6 = 3 · ED → ED = 8 |
От Евклида и Гиппарха до синуса
Слово «хорда» пришло из греческого, где так называли струну музыкального инструмента. Это одно из самых старых понятий геометрии. Теорему о пересекающихся хордах доказывает Евклид в третьей книге «Начал», около 300 года до нашей эры. Во II веке до нашей эры Гиппарх составил первую таблицу хорд — по сути, первую тригонометрическую таблицу: для каждого угла она давала длину стягивающей его хорды.
Клавдий Птолемей во II веке нашей эры включил в «Альмагест» таблицу хорд с шагом в полградуса для круга радиусом 60 единиц. По ней астрономы полтора тысячелетия вычисляли положения планет. Индийские математики перешли от целой хорды к половине — так появился синус: половина хорды двойного угла. Само слово «синус» возникло из ошибки перевода санскритского термина через арабский на латынь.
Формула радиуса по хорде и высоте сегмента нужна строителям и реставраторам. Пологие арки флорентийского моста Понте-Веккьо 1345 года — сегменты окружности, и по пролёту и подъёму арки её радиус находится этой же формулой. Так же определяют радиус колеса или трубы по обломку.
Две величины, схема и решение
Отметьте галочками две величины из условия задачи и впишите их. Остальные поля заполнятся сами, а схема перерисуется: синим — хорда, зелёным — перпендикуляр из центра, оранжевым — высота сегмента, красным — меньшая дуга. Если отметить третью величину, первая отметка снимется.
Под схемой — решение по шагам: его можно переписать в тетрадь. Если данные противоречат друг другу, например хорда длиннее диаметра, калькулятор скажет, что не так. Угол вводится в градусах и не больше 180°: для большей дуги впишите 360° минус угол.
Длину окружности, диаметр и площадь круга по одной величине считает калькулятор длины окружности, треугольник, образованный хордой и радиусами, — калькулятор треугольника.
Проверить ответ можно и без калькулятора: хорда не бывает длиннее диаметра, расстояние от центра всегда меньше радиуса, а при угле 60° хорда равна радиусу. Если спрашивают угол, опирающийся на хорду, смотрите, где лежит вершина: на большей дуге он равен половине центрального, на меньшей дополняет её до 180°.
| Входные величины | R, D, c, α, d, h, L — любые две |
| Угол | в градусах, до 180° |
| Результаты | обе дуги, сектор, два сегмента, вписанные углы |
| Решение | по шагам для школьных пар |
| Второй режим | пересекающиеся хорды AE·EB = CE·ED |
Как пользоваться
- Отметьте их галочками и впишите значения: радиус и хорду, хорду и угол, радиус и высоту сегмента — подходит любая пара.
- Для школьных пар калькулятор расписывает формулы и подстановку по шагам, как в тетради.
- Схема перерисовывается под ваши числа: хорда, радиусы к её концам, перпендикуляр из центра, высота сегмента и дуга.
- Во второй вкладке — задача о двух хордах, пересекающихся внутри круга: по трём отрезкам найдётся четвёртый.
Частые вопросы
Как найти длину хорды по радиусу и расстоянию до центра
Перпендикуляр из центра делит хорду пополам, и получается прямоугольный треугольник с гипотенузой R. Половина хорды равна √(R² − d²), вся хорда — 2√(R² − d²). Для R = 13 и d = 5 выходит 2·√(169 − 25) = 2·12 = 24.
Как найти хорду по радиусу и центральному углу
По формуле c = 2R·sin(α/2). Если хорда стягивает угол 60°, она равна радиусу: 2R·sin 30° = R. Для угла 90° хорда равна R√2, для 120° — R√3.
Как найти радиус по хорде и высоте сегмента
R = (c²/4 + h²) / (2h), где c — хорда, h — высота сегмента, то есть расстояние от середины хорды до дуги. Так находят радиус арки, линзы или колеса по его обломку.
Что такое пересекающиеся хорды
Если хорды AB и CD пересекаются в точке E внутри окружности, произведения их отрезков равны: AE·EB = CE·ED. Зная три отрезка, четвёртый находят делением. Эта теорема есть в «Началах» Евклида.
Чему равен угол, опирающийся на хорду
Вписанный угол, вершина которого лежит на большей дуге, равен половине центрального: α/2. Если вершина на меньшей дуге, угол равен 180° − α/2. Калькулятор показывает оба.
В каких единицах считать
В любых одинаковых: сантиметрах, метрах, клетках тетради. Площади выйдут в квадратах этих единиц, углы — в градусах.
Спросите нейросети об инструменте
Похожие инструменты
Расчёт по радиусу, диаметру или площади и обратный ход. Колесо диаметром 66 см делает на километре 482 оборота.
ОткрытьКалькулятор треугольникаПо трём сторонам, двум сторонам и углу или стороне и двум углам: углы, площадь, высоты, медианы, биссектрисы, радиусы окружностей, чертёж в масштабе и решение по шагам.
ОткрытьСкорость звукаСкорость звука в воздухе по температуре и в семнадцати средах от гелия до алмаза, число Маха для заданной скорости, задержка звука на расстоянии и расчёт расстояния до грозы по паузе после вспышки.
ОткрытьСклонение числительныхЛюбое число до триллиона во всех падежах: количественное, порядковое в четырёх формах, собирательное, согласование с существительным вроде «двадцати одного рубля» — по правилам без словаря.
ОткрытьМолярная массаМолярная масса по формуле со скобками, гидратами и ионами: атомные массы IUPAC, таблица состава с массовыми долями, перевод граммов в моли и число молекул, объём газа при н. у.
ОткрытьТаблица времён английскогоДвенадцать времён английского с формулами и маркерами: любой глагол во всех временах сразу, утверждение, отрицание и вопрос, подробности по каждому времени, тренажёр и печать таблицы.
ОткрытьЕщё инструменты для математики
Проценты и пропорции, дроби, степени и корни, логарифмы, НОД и НОК, уравнения, средние и разброс, площади фигур — в разделе 50 инструментов.