Схема Горнера онлайн
Введите многочлен и число c, и страница построит таблицу Горнера, найдёт частное и остаток. Кнопка «Найти корни» переберёт делители и разложит многочлен на множители.
Таблица, частное и корни
Введите многочлен в обычной записи, например x^3 − 6x^2 + 11x − 6, или просто коэффициенты через пробел: 1 −6 11 −6. Пропущенные степени страница заполнит нулями сама. Число c задаёт двучлен x − c, на который делим.
Таблица Горнера строится сразу. Верхняя строка — коэффициенты, нижняя — результаты, а под каждым результатом мелко записано, как он получен: предыдущее число, умноженное на c, плюс коэффициент сверху. Последняя клетка — остаток, она зелёная, если остаток равен нулю.
Под таблицей частное в виде многочлена и вывод: остаток равен значению многочлена в точке c. Если он нулевой, c — корень.
Кнопка «Найти корни» перебирает рациональных кандидатов: дроби, у которых числитель делит свободный член, а знаменатель делит старший коэффициент. Каждый найденный корень понижает степень, а на квадратном трёхчлене страница переходит к дискриминанту. В конце выводится разложение на множители.
Коэффициенты могут быть отрицательными и дробными, степень — любой. Для многочленов с дробными коэффициентами поиск корней попросит умножить всё на общий знаменатель: перебор делителей работает только с целыми числами. Таблица деления при этом строится для любых чисел, включая дробное c.
| Многочлен | c | Частное | Остаток |
|---|---|---|---|
| x³ − 6x² + 11x − 6 | 1 | x² − 5x + 6 | 0 |
| 2x³ − 3x² + 5 | 2 | 2x² + x + 2 | 9 |
| x³ − 2x + 4 | −2 | x² − 2x + 2 | 0 |
Горнер, Руффини и Цинь Цзюшао
Метод назван в честь английского математика Уильяма Джорджа Горнера, школьного учителя из Бата. В 1819 году он опубликовал в трудах Лондонского королевского общества способ приближённого решения уравнений, частью которого было быстрое деление многочлена на двучлен.
Горнер был не первым. За пятнадцать лет до него итальянец Паоло Руффини описал то же правило, поэтому в Италии и Испании его называют правилом Руффини. А в 1247 году китайский математик Цинь Цзюшао в «Математическом трактате в девяти разделах» решал этим приёмом уравнения высоких степеней на счётной доске.
Метод пережил и счётные доски, и логарифмические линейки. Компьютеры считают значение многочлена именно по Горнеру: так нужно n умножений вместо почти n²/2 при прямом возведении в степени, и ошибки округления меньше. Тот же приём используют для перевода чисел между системами счисления: число в двоичной записи — это многочлен от двойки.
Как применять на контрольной
Схему удобно рисовать в тетради прямо таблицей, как на странице: две строки и столбец слева для c. На контрольной схема Горнера нужна в двух задачах: разделить многочлен на двучлен и найти корни многочлена третьей или четвёртой степени. Сначала выпишите коэффициенты, не забыв нули. Ошибка с пропущенной степенью — самая частая.
Корни ищите среди делителей свободного члена. Начинайте с ±1: подставить их можно в уме, сложив коэффициенты. Сумма всех коэффициентов равна P(1), знакопеременная сумма — P(−1). Если старший коэффициент не единица, среди кандидатов появятся дроби: для 2x³ − x² − 2x + 1 проверяют ±1 и ±1/2.
Когда корень найден, продолжайте со строкой частного: исходный многочлен больше не нужен. На трёхчлене переходите к дискриминанту или теореме Виета. Если корень кратный, он найдётся ещё раз на следующем шаге, и в разложении множитель встанет дважды.
Проверить ответ легко: перемножьте найденные множители и сравните с исходным многочленом. Страница выводит разложение со старшим коэффициентом впереди, чтобы при раскрытии скобок получился тот же многочлен. Если рациональных корней нет, она так и напишет: тогда корни иррациональные или комплексные, и нужны другие методы, например численные.
Квадратный трёхчлен в конце разложит теорема Виета, уравнения с ходом решения — решение уравнений, системы — решение системы уравнений.
| Остаток | P(c), теорема Безу |
| Кандидаты в корни | p/q: p | свободный, q | старший |
| Умножений | n для многочлена степени n |
| Опубликовано | Горнер, 1819 |
Как пользоваться
- x^3-6x^2+11x-6 или 1 -6 11 -6.
- Делим на (x − c).
- Частное и остаток.
- Перебор делителей.
Частые вопросы
Как делить многочлен по схеме Горнера
Выпишите коэффициенты многочлена в строку, пропущенные степени заменяя нулями. Первый коэффициент сносится вниз без изменений, каждый следующий результат равен предыдущему результату, умноженному на c, плюс коэффициент над ним. Последнее число — остаток, остальные — коэффициенты частного.
Что показывает остаток в схеме Горнера
Остаток от деления многочлена на (x − c) равен значению многочлена в точке c — это теорема Безу. Если остаток равен нулю, число c — корень многочлена, и многочлен делится на (x − c) без остатка.
Как найти корни многочлена схемой Горнера
Целые корни многочлена с целыми коэффициентами ищут среди делителей свободного члена. Каждый делитель подставляют в схему: где остаток ноль, там корень. Затем схему применяют к частному, пока не останется квадратный трёхчлен. Его корни находят через дискриминант.
Что делать, если в многочлене пропущена степень
На место пропущенной степени ставят ноль. Многочлен x³ − 2x + 4 записывают как 1, 0, −2, 4. Если ввести многочлен с иксами, страница поставит нули сама.
Кто придумал схему Горнера
Метод назван по имени английского математика Уильяма Горнера, который опубликовал его в 1819 году. Тот же приём задолго до него применял китайский математик Цинь Цзюшао в трактате 1247 года.
Спросите нейросети об инструменте
Похожие инструменты
Лента времени по истории: века и тысячелетия до н. э. и н. э., готовые события для 5, 6 и 7–9 классов, свои даты, какой век по году и сколько лет прошло, печать на А4.
ОткрытьТаблица истинностиПостроить таблицу истинности по логическому выражению: ¬, ∧, ∨, ⊕, →, ≡ или слова И, ИЛИ, НЕ, промежуточные столбцы, СДНФ и СКНФ, фильтр F = 1 для задач ЕГЭ.
ОткрытьТаблица синусов и косинусовЗначения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов 0–360° в градусах и радианах: точные с корнями и десятичные, единичная окружность и калькулятор любого угла.
ОткрытьТаблица интеграловТаблица основных неопределённых интегралов с условиями, свойства и методы интегрирования, калькулятор определённого интеграла методом Симпсона, печать на А4.
ОткрытьЧитательский дневникШаблон читательского дневника для 1–2, 3–4 и 5–9 класса: заполнение онлайн, образец заполнения, несколько книг, пустой бланк на А4 или 2 × А5 для печати.
ОткрытьАзбука для детейГоворящая азбука для детей: 33 буквы с картинками и словами, озвучка, гласные и согласные цветом, автопоказ и плакат с алфавитом для печати.
ОткрытьЕщё инструменты для математики
Проценты и пропорции, дроби, степени и корни, логарифмы, НОД и НОК, уравнения, средние и разброс, площади фигур — в разделе 75 инструментов.