Таблица истинности онлайн
Введите логическое выражение, и калькулятор построит таблицу истинности с промежуточными столбцами. Под таблицей — СДНФ, СКНФ и число наборов, на которых выражение истинно.
Как калькулятор разбирает выражение
Калькулятор читает выражение в любой записи, которая встречается в учебниках и задачниках: значками ¬, ∧, ∨, →, ≡, ⊕, словами НЕ, И, ИЛИ или символами с клавиатуры — !, &, |, ->, <->. Переменные — латинские буквы с цифрами: A, B, x1, x2, регистр букв различается. Кириллические «х» и «у», набранные по привычке, понимаются как латинские.
Выражение разбирается строго по приоритетам операций, как в школьном курсе информатики: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция и исключающее ИЛИ, импликация, эквивалентность. Строка «Разбор» показывает выражение с теми скобками, которые действительно нужны, — по ней видно, правильно ли калькулятор понял запись.
Для каждого действия заводится свой столбец, как при решении в тетради, а итоговый столбец F выделен цветом. Наборы переменных идут в порядке двоичного счёта от 00…0 до 11…1, так же, как в таблицах из задач ЕГЭ. Больше двенадцати переменных калькулятор не принимает: таблица вышла бы длиннее 4 096 строк.
Под таблицей стоят совершенные нормальные формы. СДНФ собирается из строк, где F = 1, СКНФ — из строк, где F = 0. Если выражение истинно на всех наборах, калькулятор назовёт его тавтологией, если ложно на всех — тождественно ложным. Так удобно проверять законы логики: закон де Моргана или правило контрапозиции дают столбец из одних единиц, если записать их через эквивалентность.
| Операция | Знаки | Истинна, когда |
|---|---|---|
| Отрицание | ¬A, !A, НЕ A | A ложно |
| Конъюнкция | A ∧ B, A & B, A И B | оба истинны |
| Дизъюнкция | A ∨ B, A | B, A ИЛИ B | хотя бы одно истинно |
| Исключающее ИЛИ | A ⊕ B, A ^ B | значения разные |
| Импликация | A → B, A -> B | кроме случая 1 → 0 |
| Эквивалентность | A ≡ B, A <-> B | значения совпадают |
От Буля до Шеннона
Алгебру логики построил английский математик Джордж Буль в книгах 1847 и 1854 годов: он показал, что рассуждения можно записывать как уравнения с двумя значениями, истиной и ложью. Сами таблицы истинности в привычном виде появились позже, в работах Людвига Витгенштейна и Эмиля Поста 1920-х годов.
Практическое применение нашёл Клод Шеннон: в магистерской работе 1937 года он показал, что схемы из реле и переключателей описываются алгеброй Буля. С тех пор каждый логический элемент компьютера, от первых релейных машин до современных процессоров, проектируют через таблицу истинности.
В школе таблицы истинности изучают в восьмом-девятом классе, а на ЕГЭ по информатике им посвящено второе задание: по выражению и фрагменту таблицы с пропусками нужно восстановить, какой столбец какой переменной соответствует. Решают его как раз полной таблицей и фильтром строк. Ещё несколько заданий экзамена — на поиск числа наборов и на логические уравнения — тоже сводятся к подсчёту строк таблицы, и калькулятор даёт это число под таблицей.
Выражение, фильтр и экспорт
Введите выражение или нажмите на один из примеров под полем: среди них закон де Моргана и цепочка импликаций. Кнопки над полем вставляют логические знаки в место курсора, чтобы не искать их на клавиатуре. Таблица перестраивается по кнопке «Построить» или по Enter.
Для задачи ЕГЭ отфильтруйте строки: «F = 1» оставит только наборы, где выражение истинно, «F = 0» — где ложно. Промежуточные столбцы можно скрыть галочкой, чтобы таблица была короче. Поле «Порядок» меняет порядок переменных, например «z x y», если в задаче он задан иначе.
Ссылка на страницу сохраняет выражение, её можно отправить ученику или однокласснику. Кнопка копирования отдаёт таблицу с табуляцией: она вставляется в Excel или Google Таблицы по столбцам. Числа в другие системы счисления переведёт перевод систем счисления, текст в нули и единицы — текст в двоичный код.
| Операции | ¬ ∧ ∨ ⊕ → ≡ |
| Переменных | до 12 |
| Формы | СДНФ и СКНФ |
| Фильтр | F = 1, F = 0 |
| Экспорт | в Excel через буфер обмена |
Как пользоваться
- Символами ¬ ∧ ∨ → ≡ или словами НЕ, И, ИЛИ.
- Скобки расставлены по приоритету операций.
- Все наборы и промежуточные столбцы.
- Только F = 1 или F = 0, как в задании ЕГЭ.
Частые вопросы
Как построить таблицу истинности
Посчитайте переменные: при n переменных в таблице 2ⁿ строк. Выпишите все наборы значений в порядке двоичного счёта от 00…0 до 11…1, затем вычисляйте выражение по действиям в порядке приоритета и записывайте каждое действие в отдельный столбец. Калькулятор делает то же самое и показывает промежуточные столбцы.
В каком порядке выполняются логические операции
Сначала скобки, затем отрицание ¬, потом конъюнкция ∧, дизъюнкция ∨ и исключающее ИЛИ ⊕, после них импликация →, последней — эквивалентность ≡. Импликации одного уровня выполняются слева направо, как в учебниках информатики и в задачах ЕГЭ. Скобки в строке «Разбор» показывают, как калькулятор понял выражение.
Как вводить операции с клавиатуры
Отрицание: ¬, !, not, НЕ. Конъюнкция: ∧, &, *, and, И. Дизъюнкция: ∨, |, +, or, ИЛИ. Импликация: → или ->. Эквивалентность: ≡, <->, ==, =. Исключающее ИЛИ: ⊕, ^, xor. Переменные — латинские буквы, можно с цифрой: x1, x2. Кнопки над полем вставляют символы.
Что такое СДНФ и СКНФ
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма — дизъюнкция конъюнкций по всем строкам, где F = 1; совершенная конъюнктивная — конъюнкция дизъюнкций по строкам, где F = 0. Обе записывают ту же функцию без импликаций и эквивалентностей, их просят в задачах на построение формулы по таблице.
Как решать задание 2 ЕГЭ по информатике
В задании даётся выражение и фрагмент таблицы с пропусками. Постройте полную таблицу, отфильтруйте строки, где F совпадает со значением во фрагменте, и сопоставьте столбцы. Порядок переменных в таблице — по алфавиту, как у w, x, y, z в задачах ЕГЭ; его можно поменять в поле «Порядок».
Спросите нейросети об инструменте
Похожие инструменты
Двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная плюс любое основание от 2 до 36. Дробная часть и проверка недопустимых цифр.
ОткрытьТекст в двоичный кодПеревод текста в двоичный, шестнадцатеричный, восьмеричный и десятичный код по байтам UTF-8 или кодовым точкам и обратно, с разделителями.
ОткрытьТест на IQДвадцать шесть заданий: числовые ряды, слова, логика и матрицы фигур. Таймер, оценка по шкале 100 ± 15, процентиль и разбор каждой ошибки.
ОткрытьТест на логикуРяды фигур, числовые последовательности и задачи на рассуждение: 24 задачи, к каждой расписан ход решения.
ОткрытьТаблица интеграловТаблица основных неопределённых интегралов с условиями, свойства и методы интегрирования, калькулятор определённого интеграла методом Симпсона, печать на А4.
ОткрытьКалькулятор средних и разбросаСреднее, медиана, мода, квартили и стандартное отклонение по совокупности и по выборке. Отдельно показывает выбросы за границами полутора межквартильных размахов.
ОткрытьЕщё инструменты для математики
Проценты и пропорции, дроби, степени и корни, логарифмы, НОД и НОК, уравнения, средние и разброс, площади фигур — в разделе 57 инструментов.