Таблица интегралов
Основные неопределённые интегралы с условиями применимости, свойства интеграла и калькулятор, который считает определённый интеграл любой функции. Таблица помещается на лист А4.
Свойства и методы
Калькулятор определённого интеграла
Что в таблице
В таблице 33 основных неопределённых интегралов, разбитых на группы: степенные, показательные и логарифмические, тригонометрические, дроби и корни, гиперболические. Для каждой формулы указано условие, при котором она верна, например n ≠ −1 для степени или a > 0 для показательной функции.
Отдельный блок — свойства и методы: вынесение постоянного множителя, интеграл суммы, линейная замена, интегрирование по частям и формула Ньютона — Лейбница. Этого набора хватает, чтобы свести к табличным большинство интегралов из школьного курса и первого семестра матанализа, от площади под параболой до работы переменной силы в задачах по физике.
Калькулятор под таблицей считает определённый интеграл численно методом Симпсона на 4 000 отрезках и сравнивает результат с расчётом на 2 000 — разница и есть оценка погрешности. Функция разбирается собственным разборщиком: sin x, 2x, e^-x понимаются без лишних скобок.
Первообразную в общем виде калькулятор не выводит: это задача символьной алгебры. Страница даёт справочник формул и проверку численного ответа. Зато он сразу покажет, если посчитанное вручную значение разошлось с настоящим, и подскажет, где искать ошибку — в первообразной или в подстановке пределов.
Формулы набраны так, как их пишут в тетради: дроби с чертой, степени сверху, знак интеграла и dx. Условия применимости стоят в третьем столбце, чтобы не забыть о модуле в логарифме или о запрете деления на ноль.
| Функция | Интеграл |
|---|---|
| xn | xn+1/(n + 1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| ex | ex + C |
| sin x | −cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| 1/(1 + x2) | arctg x + C |
От Архимеда до Лейбница
Задача о площади под кривой старше самого понятия функции. Архимед в III веке до нашей эры нашёл площадь параболического сегмента, разбивая его на всё меньшие треугольники, — это метод исчерпывания, предок интегральных сумм. В XVII веке Кавальери и Ферма считали площади фигур, суммируя бесконечно тонкие полоски.
Интегральное исчисление как единый метод создали независимо Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц в 1670–1680-х годах. Лейбниц ввёл знак ∫ — вытянутую латинскую S от слова summa — и обозначение dx, которыми пользуются до сих пор. Формула Ньютона — Лейбница связала интеграл с первообразной и превратила вычисление площадей в поиск первообразных.
Таблицы интегралов стали издавать в XIX веке, а самые полные справочники, например таблицы Градштейна и Рыжика 1943 года, содержат тысячи формул. Школьнику и студенту первого курса хватает трёх-четырёх десятков основных — они и собраны на этой странице. Численные методы, вроде метода Симпсона в калькуляторе, придумали ещё в XVIII веке: Томас Симпсон описал его в 1743 году, и он до сих пор работает в инженерных расчётах, когда первообразную найти нельзя.
Таблица, проверка и печать
Найдите в таблице нужную группу, а в ней функцию под знаком интеграла и перепишите ответ, не забыв константу C. Если под знаком стоит kx + b вместо x, разделите результат на k. Сумму функций интегрируют по частям суммы, постоянный множитель выносят за знак интеграла. Результат всегда можно проверить дифференцированием: производная ответа должна совпасть с подынтегральной функцией. Этот приём спасает на контрольной, когда формулу вспомнили не до конца.
Чтобы проверить ответ определённого интеграла из домашнего задания или контрольной, введите функцию и пределы в калькулятор: x^2*sin(x) от 0 до pi, 1/(1+x^2) от 0 до 1. Если функция уходит в бесконечность на отрезке, калькулятор предупредит о разрыве. Таблица печатается на одном листе А4 в две колонки.
График подынтегральной функции построит построение графиков, значения синусов и косинусов подскажет таблица синусов, сложные выражения посчитает инженерный калькулятор.
| Формул | 33 |
| Групп | 5 |
| Свойств и методов | 5 |
| Калькулятор | метод Симпсона, 4 000 шагов |
| Печать | А4, две колонки |
Как пользоваться
- По группам: степени, тригонометрия, корни.
- Когда формула работает.
- Функция и пределы — численный ответ.
- Таблица на один лист.
Частые вопросы
Как пользоваться таблицей интегралов
Найдите в левом столбце функцию, которую нужно проинтегрировать, и перепишите первообразную из правого столбца с константой C. Если под знаком интеграла вместо x стоит линейное выражение kx + b, результат делится на k — это правило линейной замены из блока свойств.
Почему в ответе прибавляют C
Неопределённый интеграл — это множество всех первообразных, а они отличаются на постоянную: производная константы равна нулю. Поэтому к любой первообразной добавляют произвольную постоянную C. В определённом интеграле она сокращается.
Как посчитать определённый интеграл
По формуле Ньютона — Лейбница: найдите первообразную F и вычислите F(b) − F(a). Калькулятор под таблицей считает определённый интеграл численно методом Симпсона — этим удобно проверить свой ответ. Первообразную в общем виде он не выводит.
Как вводить функцию в калькулятор
Переменная — x, умножение — *, степень — ^: x^2*sin(x), exp(-x^2), 1/(1+x^2), sqrt(1-x^2). Доступны sin, cos, tan, cot, asin, acos, atan, ln, log (десятичный), exp, sqrt, abs, числа pi и e. Пределы можно записывать через pi: 0 и pi/2.
Что делать, если интеграла нет в таблице
Приведите его к табличному: разложите дробь на простые, сделайте замену переменной или проинтегрируйте по частям. Некоторые интегралы, например от e^(−x²) или sin(x)/x, в элементарных функциях не выражаются, их считают численно — для этого и нужен калькулятор.
Спросите нейросети об инструменте
Похожие инструменты
Скорость звука в воздухе по температуре и в семнадцати средах от гелия до алмаза, число Маха для заданной скорости, задержка звука на расстоянии и расчёт расстояния до грозы по паузе после вспышки.
ОткрытьСклонение числительныхЛюбое число до триллиона во всех падежах: количественное, порядковое в четырёх формах, собирательное, согласование с существительным вроде «двадцати одного рубля» — по правилам без словаря.
ОткрытьТренажёр дробейПримеры с дробями для 5–6 класса с проверкой: сокращение, сравнение, сложение и вычитание с одинаковыми и разными знаменателями, умножение и деление, смешанные числа, десятичные дроби. Разбор ошибок по шагам и лист на печать.
ОткрытьТаблица истинностиПостроить таблицу истинности по логическому выражению: ¬, ∧, ∨, ⊕, →, ≡ или слова И, ИЛИ, НЕ, промежуточные столбцы, СДНФ и СКНФ, фильтр F = 1 для задач ЕГЭ.
ОткрытьЛента времениЛента времени по истории: века и тысячелетия до н. э. и н. э., готовые события для 5, 6 и 7–9 классов, свои даты, какой век по году и сколько лет прошло, печать на А4.
ОткрытьЧитательский дневникШаблон читательского дневника для 1–2, 3–4 и 5–9 класса: заполнение онлайн, образец заполнения, несколько книг, пустой бланк на А4 или 2 × А5 для печати.
ОткрытьЕщё инструменты для математики
Проценты и пропорции, дроби, степени и корни, логарифмы, НОД и НОК, уравнения, средние и разброс, площади фигур — в разделе 60 инструментов.