Теорема Виета: корни по сумме и произведению
Введите коэффициенты квадратного уравнения, и страница подберёт корни по теореме Виета, показав все пары множителей. Вторая вкладка по двум корням составит уравнение.
Пары множителей
Подбор корней и обратная задача
На первой вкладке введите коэффициенты a, b и c. Страница приведёт уравнение, если a не равно единице, посчитает сумму и произведение корней и переберёт все пары целых множителей свободного члена. Пара с нужной суммой подсвечивается в таблице справа.
Под ответом написано, какие знаки будут у корней, ещё до их подбора: по знаку свободного члена и второго коэффициента. Это правило экономит время на контрольной, потому что половину пар можно не проверять.
Если целых корней нет, перебор не сработает, и страница решает уравнение через дискриминант. Сумму и произведение найденных корней она сверяет с теоремой Виета, чтобы было видно, что теорема работает и для дробных корней. При отрицательном дискриминанте страница скажет, что действительных корней нет.
Вторая вкладка решает обратную задачу: по двум корням составляет приведённое квадратное уравнение и проверяет его подстановкой каждого корня.
Коэффициенты можно вводить дробями вида 1/2 и десятичными числами через запятую. Если a равно нулю, страница подскажет, что уравнение линейное, и сразу найдёт его единственный корень.
| Уравнение | Сумма | Произведение | Корни |
|---|---|---|---|
| x² − 5x + 6 = 0 | 5 | 6 | 2 и 3 |
| x² + x − 6 = 0 | −1 | −6 | −3 и 2 |
| x² − 7x + 10 = 0 | 7 | 10 | 2 и 5 |
| x² + 8x + 15 = 0 | −8 | 15 | −5 и −3 |
Юрист, который придумал алгебру
Теорема носит имя Франсуа Виета, французского юриста и математика XVI века. Большую часть жизни он служил при дворе и занимался математикой в свободное время. При короле Генрихе IV Виет расшифровывал перехваченные испанские депеши, и испанцы подозревали, что французам помогает нечистая сила.
Главная заслуга Виета — буквенные обозначения. До него задачи записывали словами, а он предложил обозначать неизвестные гласными буквами, а известные величины — согласными. В книге «Введение в аналитическое искусство» 1591 года родилась алгебра в привычном нам виде.
Связь корней с коэффициентами Виет описал для уравнений до пятой степени. Работа с этими формулами вышла в 1615 году, через двенадцать лет после его смерти. Её подготовил к печати шотландский математик Александр Андерсон. В школе теорему проходят в 8 классе, и она остаётся одним из самых частых заданий ОГЭ.
Теорема работает не только для квадратных уравнений. Для кубического уравнения x³ + ax² + bx + c = 0 сумма корней равна −a, сумма попарных произведений — b, произведение всех трёх — −c. Эти формулы проходят в вузе, а в школе ограничиваются квадратным случаем.
Когда подбор быстрее дискриминанта
Подбор по Виету быстрее дискриминанта, когда коэффициенты небольшие и целые. Начните со знаков: при положительном свободном члене корни одного знака, при отрицательном — разных. Затем выпишите делители свободного члена и найдите пару с нужной суммой.
Для уравнения с a ≠ 1 сначала разделите все коэффициенты на a. Если после деления получились дроби, удобнее решать через дискриминант, а теоремой Виета проверить ответ: сумма корней должна равняться −b/a, произведение — c/a.
Обратная теорема пригодится, когда нужно составить уравнение по корням, например, в задаче «запишите уравнение с корнями 2 и −3». Умножьте полученное уравнение на любое число, кроме нуля, и корни останутся теми же. Поэтому у задачи бесконечно много ответов, и в тетради обычно пишут приведённое уравнение.
Полное решение квадратного и линейного уравнения с дискриминантом покажет решение уравнений, многочлены третьей степени и выше разберёт схема Горнера, квадраты чисел для проверки подскажет таблица квадратов.
Типичные ошибки при подборе: забыть поменять знак у суммы, перепутать сумму с произведением и проверить только положительные пары. Таблица справа показывает и отрицательные пары, поэтому ни одна не потеряется. Для тренировки меняйте один коэффициент и смотрите, как сдвигаются корни.
| Сумма корней | x₁ + x₂ = −b/a |
| Произведение | x₁ · x₂ = c/a |
| Приведённое уравнение | x² + px + q = 0 |
| Автор | Франсуа Виет, 1540–1603 |
| Класс | 8 |
Как пользоваться
- a, b и c.
- −b/a и c/a.
- Пары множителей.
- Через дискриминант.
Частые вопросы
Как звучит теорема Виета
Сумма корней приведённого квадратного уравнения x² + px + q = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену: x₁ + x₂ = −p, x₁ · x₂ = q. Для уравнения ax² + bx + c = 0 сумма равна −b/a, произведение — c/a.
Как подобрать корни по теореме Виета
Выпишите пары целых чисел, произведение которых равно q, и найдите пару с суммой −p. Для x² − 5x + 6 = 0 произведение 6 дают пары 1 и 6, 2 и 3, суммы 7 и 5 — подходит 2 и 3. Инструмент перебирает пары сам и показывает таблицу.
Что такое обратная теорема Виета
Если числа m и n дают в сумме −p, а в произведении q, то они и есть корни уравнения x² + px + q = 0. По ней составляют уравнение по готовым корням: для 2 и −3 получится x² + x − 6 = 0. Это делает вторая вкладка.
Как определить знаки корней без решения
Если свободный член q больше нуля, корни одного знака, и этот знак противоположен знаку p. Если q меньше нуля, корни разных знаков, и больший по модулю корень имеет знак, противоположный p. Страница пишет это под каждым расчётом.
Когда теорема Виета не помогает
Если дискриминант отрицательный, действительных корней нет, хотя сумма и произведение формально существуют. Если корни дробные или иррациональные, подбором их не найти — тогда страница решает через дискриминант и проверяет ответ по Виету.
Спросите нейросети об инструменте
Похожие инструменты
Таблица Горнера: деление многочлена на (x − c), частное, остаток и значение P(c), перебор рациональных корней и разложение на множители.
ОткрытьСкорость звукаСкорость звука в воздухе по температуре и в семнадцати средах от гелия до алмаза, число Маха для заданной скорости, задержка звука на расстоянии и расчёт расстояния до грозы по паузе после вспышки.
ОткрытьКалькулятор оценокСредний балл с весами работ, «сколько нужно пятёрок», качество знаний и степень обученности класса.
ОткрытьСклонение числительныхЛюбое число до триллиона во всех падежах: количественное, порядковое в четырёх формах, собирательное, согласование с существительным вроде «двадцати одного рубля» — по правилам без словаря.
ОткрытьКалькулятор средних и разбросаСреднее, медиана, мода, квартили и стандартное отклонение по совокупности и по выборке. Отдельно показывает выбросы за границами полутора межквартильных размахов.
ОткрытьТаблица времён английскогоДвенадцать времён английского с формулами и маркерами: любой глагол во всех временах сразу, утверждение, отрицание и вопрос, подробности по каждому времени, тренажёр и печать таблицы.
ОткрытьЕщё инструменты для математики
Проценты и пропорции, дроби, степени и корни, логарифмы, НОД и НОК, уравнения, средние и разброс, площади фигур — в разделе 75 инструментов.