Арифметическая прогрессия
Введите первый член и разность или любые два члена, и калькулятор найдёт нужный член, сумму и покажет решение по формулам.
Три режима, решение и график
Калькулятор решает три типа задач на арифметическую прогрессию. В первом режиме известны первый член a₁ и разность d — он находит n-й член и сумму первых n членов. Во втором известны два любых члена: калькулятор найдёт разность, первый член, а затем нужный член и сумму. В третьем проверяет, входит ли число в прогрессию и под каким номером.
Под числами — решение по шагам: формула, подстановка и ответ. Его можно переписать в тетрадь как образец оформления. Числа принимаются целые, дробные через запятую и в виде дроби, например 1/3.
На графике тёмные столбики — члены прогрессии, пунктир через их вершины — прямая: члены арифметической прогрессии лежат на одной прямой. Светлая ступенчатая фигура — сумма: каждая ступень прибавляет следующий член. Нужный член выделен жёлтым. Под графиком — первые члены списком.
Если разность отрицательная, прогрессия убывает, и столбики уходят вниз под ноль. Сумма тогда сначала растёт, а потом уменьшается — это тоже видно на графике.
Арифметические прогрессии встречаются в быту чаще, чем кажется. Ряды в амфитеатре, где каждый следующий длиннее на два места, ежемесячные платежи, которые растут на фиксированную сумму, пройденный путь при свободном падении: за первую секунду тело пролетает около 5 м, за вторую 15, за третью 25 — это прогрессия с разностью 10. Линейная амортизация, когда стоимость вещи каждый год уменьшается на одну и ту же сумму, — тоже убывающая арифметическая прогрессия.
| Что найти | Формула | Пример |
|---|---|---|
| n-й член | aₙ = a₁ + (n − 1)d | a₁ = 3, d = 4: a₁₀ = 39 |
| сумма n членов | Sₙ = (a₁ + aₙ)·n / 2 | S₁₀ = (3 + 39)·10 / 2 = 210 |
| разность | d = (aₘ − aₖ) / (m − k) | a₃ = 7, a₈ = 22: d = 3 |
| номер члена | n = (x − a₁) / d + 1 | 50 в 5, 8, 11…: n = 16 |
От Ахмеса до Гаусса
Задачи на прогрессии есть в египетском папирусе Ахмеса, написанном около 1650 года до нашей эры: в одной из них хлеб делят между людьми так, чтобы доли отличались на одно и то же число.
Известная история связана с Карлом Фридрихом Гауссом. Учитель велел классу сложить числа от 1 до 100, а десятилетний Гаусс почти сразу назвал ответ 5050. Он заметил, что пары 1 и 100, 2 и 99, 3 и 98 дают по 101, а таких пар 50. Это и есть формула суммы: (a₁ + aₙ)·n / 2. Историки сомневаются в деталях, но приём сложения парами с концов с тех пор объясняют на уроках именно на этом примере.
Слово «прогрессия» происходит от латинского progressio — движение вперёд. В русских учебниках тема арифметической прогрессии входит в курс алгебры 9 класса и встречается в ОГЭ и ЕГЭ.
Режим, проверка и соседние задачи
Выберите режим по тому, что дано в задаче. Если известны первый член и разность, берите первый режим. Если даны, например, третий и восьмой члены — второй: введите их номера и значения. Если нужно узнать, входит ли число в прогрессию, — третий.
Проверьте ответ по характеристическому свойству: каждый член равен среднему арифметическому соседних. Список членов под графиком позволяет сверить это глазами.
Самые частые ошибки в задачах — умножить разность на n вместо n − 1 и перепутать номер члена со значением. Например, в прогрессии 5, 8, 11 десятый член равен 5 + 9·3 = 32, а 5 + 10·3 = 35 — это уже одиннадцатый. Решение по шагам на странице показывает подстановку, поэтому такую ошибку легко заметить.
Для задач на геометрическую прогрессию есть отдельный калькулятор: там члены умножаются на одно и то же число. Уравнения, которые получаются в задачах с неизвестным n, решит решение уравнений.
| Режимов | 3 |
| Решение | по шагам |
| Дроби | через запятую или 1/3 |
| Номер n | до 1 000 000 |
| График | члены и сумма |
Как пользоваться
- Что известно в задаче.
- Можно дробные и отрицательные.
- Формулы с подстановкой.
- Члены и сумма.
Частые вопросы
Как найти n-й член арифметической прогрессии
По формуле aₙ = a₁ + (n − 1)·d, где a₁ — первый член, d — разность. Например, если a₁ = 3 и d = 4, то десятый член a₁₀ = 3 + 9·4 = 39.
Как найти сумму первых n членов
Sₙ = (a₁ + aₙ)·n / 2 или, без aₙ, Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d)·n / 2. Для a₁ = 3, d = 4 сумма первых десяти членов равна (3 + 39)·10 / 2 = 210.
Как найти разность по двум членам
Если известны aₖ и aₘ, то d = (aₘ − aₖ) / (m − k). Например, a₃ = 7 и a₈ = 22 дают d = 15 / 5 = 3, а первый член a₁ = a₃ − 2d = 1.
Как узнать, входит ли число в прогрессию
Найдите n = (x − a₁) / d + 1. Если получилось натуральное число, x — член прогрессии с этим номером, если дробное или отрицательное — нет. Калькулятор делает это в режиме «найти номер».
Какое характеристическое свойство у арифметической прогрессии
Каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2. Отсюда и название прогрессии.
Спросите нейросети об инструменте
Похожие инструменты
Линейные и квадратные уравнения с полным ходом: дискриминант, три случая корней, теорема Виета и разложение трёхчлена на множители.
ОткрытьСкорость звукаСкорость звука в воздухе по температуре и в семнадцати средах от гелия до алмаза, число Маха для заданной скорости, задержка звука на расстоянии и расчёт расстояния до грозы по паузе после вспышки.
ОткрытьСклонение числительныхЛюбое число до триллиона во всех падежах: количественное, порядковое в четырёх формах, собирательное, согласование с существительным вроде «двадцати одного рубля» — по правилам без словаря.
ОткрытьЛента времениЛента времени по истории: века и тысячелетия до н. э. и н. э., готовые события для 5, 6 и 7–9 классов, свои даты, какой век по году и сколько лет прошло, печать на А4.
ОткрытьТаблица истинностиПостроить таблицу истинности по логическому выражению: ¬, ∧, ∨, ⊕, →, ≡ или слова И, ИЛИ, НЕ, промежуточные столбцы, СДНФ и СКНФ, фильтр F = 1 для задач ЕГЭ.
ОткрытьТаблица интеграловТаблица основных неопределённых интегралов с условиями, свойства и методы интегрирования, калькулятор определённого интеграла методом Симпсона, печать на А4.
ОткрытьЕщё инструменты для математики
Проценты и пропорции, дроби, степени и корни, логарифмы, НОД и НОК, уравнения, средние и разброс, площади фигур — в разделе 64 инструмента.