Калькулятор средних и разброса

Только делителем. Сначала считается сумма квадратов отклонений от среднего — она в обоих случаях одна и та же. Дальше эту сумму делят на n, когда данные покрывают весь массив, и на n−1, когда данные представляют собой выборку. Уменьшенный делитель поднимает оценку: выборка почти всегда прижимается к своему среднему теснее, чем вся совокупность к своему, и деление на n−1 компенсирует эту тесноту. На ряду 2 4 4 4 5 5 7 9 сумма квадратов отклонений равна 32. Тридцать два на восемь дают дисперсию 4 и отклонение 2. Тридцать два на семь дают 4,5714 и отклонение 2,1381.

Квартили режут упорядоченный ряд на четыре равные по числу значений части. Ниже Q1 лежит четверть данных, ниже Q3 — три четверти, а Q2 совпадает с медианой. Межквартильный размах IQR = Q3 − Q1 показывает, в какой полосе умещается средняя половина ряда, и в отличие от обычного размаха его не растягивает одно случайное значение на краю. На ряду 2 4 4 4 5 5 7 9 медиана равна 4,5, Q1 = 4, Q3 = 5,5, межквартильный размах 1,5. Позиция квартиля берётся как (n−1)·p с линейной интерполяцией между соседними значениями — так же считает функция КВАРТИЛЬ в таблицах.

Их отмеряют от квартилей в межквартильных размахах: нижняя граница Q1 − 1,5·IQR, верхняя Q3 + 1,5·IQR. Всё, что вышло за них, помечается как выброс. На ряду 2 4 4 4 5 5 7 9 границы равны 1,75 и 7,75, за верхнюю выходит девятка. Коэффициент 3 отодвигает границы до −0,5 и 10, и при нём девятка остаётся внутри: полтора размаха ищут подозрительные значения, три размаха — совсем далёкие. Выброс сам по себе служит поводом посмотреть на число внимательнее: это может быть и опечатка при вводе, и настоящее редкое событие.

Когда в ряду стоит одно очень крупное значение. В отделе из десяти человек девять получают по 50 000 ₽, руководитель — 500 000 ₽: сумма выходит 950 000 ₽, среднее — 95 000 ₽, и такой зарплаты в отделе нет ни у кого. Медиана того же ряда равна 50 000 ₽: она смотрит на середину упорядоченного списка, и размер крайнего значения её не трогает. Поэтому по зарплатам, ценам и времени ответа медиана описывает типичный случай точнее среднего.

Насколько далеко значения в среднем отходят от среднего арифметического. Ряды 4 5 5 6 и 1 3 7 9 дают одинаковое среднее 5, при этом отклонение по совокупности у первого равно 0,7071, у второго — 3,1623: второй разбросан примерно в четыре с половиной раза сильнее. Коэффициент вариации переводит разброс в проценты от среднего — 14,14 % против 63,25 %, — и эти проценты сравнимы даже у величин в разных единицах.

Сначала выяснить, откуда он взялся. Часть выбросов оказывается опечатками при вводе: 48 вместо 4,8 или лишний ноль в конце, и такие числа правятся в исходных данных. Остальные оказываются настоящими редкими событиями, и вычёркивание их из расчёта стирает как раз самое интересное; тогда полезно посчитать статистику дважды и посмотреть на разницу. На ряду 12 15 11 14 13 12 48 14 13 12 среднее равно 16,4, без сорока восьми оно падает до 12,89, медиана в обоих случаях держится на 13.

Мода отвечает на другой вопрос: какое значение встречается чаще остальных. Она остаётся осмысленной там, где дробный результат в природе не встречается — в ряду квартир 1 1 2 2 2 3 среднее равно 1,8333 комнаты, а мода показывает двушку, которую действительно покупают чаще всего. Две моды сразу служат отдельным сигналом: ряд 1 1 2 2 3 распадается на две группы, и одно среднее по нему уже мало что описывает.