Треугольник Паскаля и бином Ньютона
Выберите число строк и раскраску, нажмите на число в треугольнике, и страница покажет сочетание C(n, k) и разложение бинома Ньютона для этой строки.
Бином Ньютона
Треугольник, раскраски и бином
Страница строит треугольник Паскаля до 32 строк. Каждая ячейка — сумма двух над ней, а числа в строке n — это биномиальные коэффициенты C(n, 0), C(n, 1) … C(n, n). Большие числа считаются точно, без округления: в 31-й строке уже встречаются числа больше 300 миллионов.
Три раскраски показывают разные свойства. «По величине» — чем больше число, тем темнее ячейка, видно, что самые большие числа в середине строк. «Кратные k» закрашивает числа, делящиеся на k: при k = 2 появляется треугольник Серпинского, фрактал из вложенных треугольников. «Диагонали» выделяет пологие линии, суммы которых дают ряд Фибоначчи.
Нажмите на ячейку — карточка под треугольником покажет C(n, k) с формулой, из каких двух чисел получилась ячейка, сумму строки и число Фибоначчи на диагонали. Степень бинома справа тоже переключится на эту строку.
Блок «Бином Ньютона» раскрывает степень суммы: (a + b)ⁿ, (a − b)ⁿ или с числами — (x + 2)ⁿ, (2x − 1)ⁿ. Коэффициенты выделены цветом, так проще сверить их со строкой треугольника. Для (2x − 1)ⁿ калькулятор сам учтёт степени двойки и чередование знаков.
| Свойство | Формула | Пример |
|---|---|---|
| Сумма двух над ячейкой | C(n, k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k) | 6 = 3 + 3 |
| Симметрия строки | C(n, k) = C(n, n − k) | C(10, 3) = C(10, 7) = 120 |
| Сумма строки | 2ⁿ | 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 |
| Бином | (a + b)ⁿ = Σ C(n, k)aⁿ⁻ᵏbᵏ | (a + b)² = a² + 2ab + b² |
От Ян Хуэя до Паскаля и Ньютона
Треугольник известен гораздо раньше Паскаля. В Индии им пользовались для подсчёта стихотворных размеров, в Персии о нём писал Омар Хайям, а китайский математик Ян Хуэй изобразил его в 1261 году — в Китае его называют треугольником Ян Хуэя. В Италии он известен как треугольник Тартальи.
Блез Паскаль написал о нём «Трактат об арифметическом треугольнике» в 1654 году и связал его с теорией вероятностей: в переписке с Пьером Ферма он решал задачи о справедливом разделе ставки в прерванной игре. Трактат вышел в 1665 году, уже после смерти автора, и в Европе треугольник стал называться его именем.
Исаак Ньютон обобщил формулу бинома на дробные и отрицательные степени, и с тех пор разложение носит его имя. Сегодня биномиальные коэффициенты лежат в основе комбинаторики и теории вероятностей: они считают сочетания, шансы в лотереях и распределение результатов при подбрасывании монеты.
Доска Гальтона, которую британский учёный Фрэнсис Гальтон построил в 1870-х, показывает связь треугольника с вероятностью наглядно. Шарики падают сквозь ряды гвоздей, на каждом отскакивая влево или вправо, и в нижних лотках собираются горкой. Число путей к каждому лотку — это число из строки треугольника, поэтому горка повторяет форму колокола — нормального распределения.
Сочетания, скобки и проверка
Если нужно число сочетаний, нажмите на ячейку в строке n и на месте k, считая с нуля. Например, сколько способов выбрать 3 книги из 10 — строка 10, место 3: 120. Для больших n, до 31, треугольник всё равно даст точное значение во всплывающей подсказке, если навести курсор на ячейку.
Треугольник помогает и в задачах про монеты. Сколькими способами из пяти бросков могут выпасть ровно два орла? Ответ — C(5, 2) = 10 из 32 возможных исходов, то есть вероятность 10/32 ≈ 31%. Числа пятой строки 1, 5, 10, 10, 5, 1 дают вероятности для любого числа орлов от нуля до пяти.
Чтобы раскрыть скобки в школьной задаче, введите степень в блоке «Бином Ньютона» и выберите вид выражения. Проверьте ответ: сумма коэффициентов при a = b = 1 должна быть 2ⁿ, а при (a − b)ⁿ — ноль. Если не сходится, где-то потерян знак или коэффициент.
Для задач на вероятность и перестановки пригодится калькулятор факториала, уравнения, которые получаются после раскрытия скобок, решит решение уравнений.
| Строк | до 32 |
| Числа | точные, BigInt |
| Раскраски | 3 |
| Бином | до 20-й степени |
| Формы | (a ± b)ⁿ, (x + c)ⁿ, (2x − 1)ⁿ |
Как пользоваться
- От 5 до 32.
- Кратность, диагонали, суммы.
- Нажмите — будет C(n, k).
- Разложение (a + b)ⁿ.
Частые вопросы
Как построить треугольник Паскаля
По краям строк стоят единицы, а каждое внутреннее число равно сумме двух чисел над ним. Строки нумеруют с нуля: нулевая — 1, первая — 1 1, вторая — 1 2 1, третья — 1 3 3 1, четвёртая — 1 4 6 4 1.
Как треугольник Паскаля связан с биномом Ньютона
Числа n-й строки — коэффициенты разложения (a + b)ⁿ. Например, четвёртая строка 1 4 6 4 1 даёт (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴.
Что такое C(n, k)
Число сочетаний — сколькими способами можно выбрать k предметов из n без учёта порядка. C(n, k) = n! / (k!·(n − k)!) и стоит в треугольнике на пересечении n-й строки и k-го места. Например, выбрать 3 книги из 10 можно 120 способами.
Почему сумма чисел строки — степень двойки
Если подставить a = b = 1 в бином, получится 2ⁿ = C(n, 0) + C(n, 1) + … + C(n, n). По смыслу это число всех подмножеств множества из n элементов.
Где в треугольнике Паскаля числа Фибоначчи
Сложите числа вдоль пологих диагоналей: 1, 1, 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 1 + 3 + 1 = 5, 1 + 4 + 3 = 8. Суммы идут по ряду Фибоначчи. Раскраска «диагонали» на странице выделяет их разными цветами.
Спросите нейросети об инструменте
Похожие инструменты
n! целиком, без округления и степеней десятки: все цифры, их количество, нули на конце, разложение на простые множители по формуле Лежандра, двойной факториал, размещения и сочетания, таблица от 0! до 30!.
ОткрытьРешение уравненийЛинейные и квадратные уравнения с полным ходом: дискриминант, три случая корней, теорема Виета и разложение трёхчлена на множители.
ОткрытьКалькулятор средних и разбросаСреднее, медиана, мода, квартили и стандартное отклонение по совокупности и по выборке. Отдельно показывает выбросы за границами полутора межквартильных размахов.
ОткрытьТаблица времён английскогоДвенадцать времён английского с формулами и маркерами: любой глагол во всех временах сразу, утверждение, отрицание и вопрос, подробности по каждому времени, тренажёр и печать таблицы.
ОткрытьДлина хорды окружностиХорда, дуга и сегмент по любым двум величинам из семи: радиус, диаметр, хорда, угол, расстояние до центра, высота сегмента, дуга. Решение по шагам, чертёж, площади сектора и сегментов, пересекающиеся хорды.
ОткрытьТренажёр дробейПримеры с дробями для 5–6 класса с проверкой: сокращение, сравнение, сложение и вычитание с одинаковыми и разными знаменателями, умножение и деление, смешанные числа, десятичные дроби. Разбор ошибок по шагам и лист на печать.
ОткрытьЕщё инструменты для математики
Проценты и пропорции, дроби, степени и корни, логарифмы, НОД и НОК, уравнения, средние и разброс, площади фигур — в разделе 65 инструментов.