Геометрическая прогрессия
Введите первый член и знаменатель или два любых члена, и калькулятор найдёт нужный член, сумму и покажет решение по формулам.
Три режима, решение и график
Калькулятор решает задачи на геометрическую прогрессию, где каждый член получается умножением предыдущего на одно и то же число — знаменатель q. Режимов три: по первому члену и знаменателю, по двум любым членам и сумма бесконечно убывающей прогрессии.
В первом режиме калькулятор находит n-й член и сумму первых n членов. Во втором — знаменатель и первый член по двум известным членам. Если разность номеров чётная, подходят два знаменателя, положительный и отрицательный: например, при b₁ = 1 и b₃ = 4 это q = 2 и q = −2. Калькулятор покажет оба варианта.
Третий режим считает сумму всех членов прогрессии при |q| < 1: 8 + 4 + 2 + 1 + … = 16. Если |q| ≥ 1, члены не убывают, и такой суммы нет — калькулятор об этом скажет.
На графике фиолетовые столбики — члены, зелёная линия — частичные суммы. При q > 1 обе растут всё быстрее, при |q| < 1 зелёная линия прижимается к красной пунктирной — сумме бесконечной прогрессии. При отрицательном q столбики чередуются вверх и вниз.
Геометрические прогрессии описывают всё, что растёт или убывает в одно и то же число раз за период. Вклад под 10% годовых с капитализацией через 10 лет вырастет в 1,1¹⁰ ≈ 2,59 раза. Радиоактивный изотоп за каждый период полураспада теряет половину массы, и через десять периодов остаётся меньше тысячной доли. Колония бактерий, которая удваивается каждые 20 минут, за сутки проходит 72 удвоения. Лист бумаги толщиной 0,1 мм, сложенный пополам 42 раза, стал бы толщиной больше расстояния до Луны: 0,1 мм · 2⁴² ≈ 440 тысяч км.
| Что найти | Формула | Пример |
|---|---|---|
| n-й член | bₙ = b₁·qⁿ⁻¹ | b₁ = 2, q = 3: b₅ = 162 |
| сумма n членов | Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1) | S₅ = 242 |
| знаменатель | q = (bₘ/bₖ)^(1/(m − k)) | b₂ = 6, b₅ = 162: q = 3 |
| бесконечная сумма | S = b₁/(1 − q), |q| < 1 | 8, 4, 2…: S = 16 |
От Евклида до шахматной доски
Геометрические прогрессии встречаются уже в вавилонских табличках о процентах по долгам и в египетском папирусе Ахмеса: там есть задача о семи домах, в каждом по семь кошек, каждая ловит семь мышей.
Евклид в «Началах», около 300 года до нашей эры, вывел сумму геометрической прогрессии. А апория Зенона об Ахиллесе и черепахе — по сути вопрос о сумме бесконечно убывающей прогрессии: Ахиллес пробегает половину пути, потом четверть, потом восьмую, и всё равно догоняет черепаху за конечное время.
Самая известная задача — легенда о шахматах. Изобретатель попросил положить на первую клетку одно зерно, на вторую два, на третью четыре и так далее. Сумма за 64 клетки равна 2⁶⁴ − 1, около 18 квинтиллионов зёрен — больше, чем пшеницы собрали за всю историю человечества.
Термин «знаменатель прогрессии» пришёл из старых учебников, где прогрессию записывали через отношение соседних членов. В школьной программе России геометрическая прогрессия изучается в 9 классе вместе с арифметической, а задачи на сложные проценты с её формулами входят в профильный ЕГЭ.
Режимы, проценты и соседние задачи
Выберите режим и введите числа. Дробный знаменатель удобно писать как 1/2 или 0,5. Если даны два члена, укажите их номера — калькулятор сам найдёт знаменатель и первый член, а для чётной разности номеров покажет второй вариант.
Геометрическая прогрессия описывает сложные проценты, рост колоний бактерий, распад радиоактивных веществ и цепные письма. Если считаете рост вклада, n — это число периодов начисления, а q = 1 + ставка за период.
Частые ошибки — забыть, что показатель степени в формуле n-го члена равен n − 1, и потерять отрицательный знаменатель при извлечении корня чётной степени. Если в задаче сказано, что все члены положительны, отрицательный вариант отбрасывают; если про знаки ничего не сказано, в ответе оба варианта. При делении на q − 1 проверьте, что q не равно единице: тогда все члены одинаковы, и сумма равна n·b₁.
Реальный рост вклада с капитализацией посчитает калькулятор вклада, уравнения с показателем степени — решение уравнений.
| Режимов | 3 |
| Решение | по шагам |
| Два знаменателя | при чётной разности номеров |
| Бесконечная сумма | при |q| < 1 |
| Номер n | до 5000 |
Как пользоваться
- Что известно в задаче.
- Дроби пишите как 1/2.
- Формулы с подстановкой.
- Члены и частичные суммы.
Частые вопросы
Как найти n-й член геометрической прогрессии
По формуле bₙ = b₁·qⁿ⁻¹, где b₁ — первый член, q — знаменатель. Если b₁ = 2 и q = 3, пятый член b₅ = 2·3⁴ = 162.
Как найти сумму первых n членов
Sₙ = b₁·(qⁿ − 1) / (q − 1) при q ≠ 1. Для b₁ = 2, q = 3 сумма первых пяти членов равна 2·(243 − 1) / 2 = 242. Если q = 1, все члены равны и Sₙ = n·b₁.
Как найти сумму бесконечно убывающей прогрессии
Если |q| < 1, члены стремятся к нулю, а сумма всех членов конечна: S = b₁ / (1 − q). Например, 8 + 4 + 2 + 1 + … = 8 / (1 − 1/2) = 16. На графике частичные суммы приближаются к этой линии.
Как найти знаменатель по двум членам
q = (bₘ / bₖ)^(1/(m − k)). Для b₂ = 6 и b₅ = 162 знаменатель q = (162/6)^(1/3) = 27^(1/3) = 3. Если разность номеров чётная, подходят два знаменателя — положительный и отрицательный, калькулятор покажет оба.
Какое характеристическое свойство у геометрической прогрессии
Квадрат каждого члена, начиная со второго, равен произведению соседних: bₙ² = bₙ₋₁·bₙ₊₁. Для положительных членов это значит, что каждый член — среднее геометрическое соседних.
Спросите нейросети об инструменте
Похожие инструменты
Доход по вкладу с капитализацией и пополнениями: итог, эффективная ставка и НДФЛ с процентов.
ОткрытьРешение уравненийЛинейные и квадратные уравнения с полным ходом: дискриминант, три случая корней, теорема Виета и разложение трёхчлена на множители.
ОткрытьТренажёр дробейПримеры с дробями для 5–6 класса с проверкой: сокращение, сравнение, сложение и вычитание с одинаковыми и разными знаменателями, умножение и деление, смешанные числа, десятичные дроби. Разбор ошибок по шагам и лист на печать.
ОткрытьЛента времениЛента времени по истории: века и тысячелетия до н. э. и н. э., готовые события для 5, 6 и 7–9 классов, свои даты, какой век по году и сколько лет прошло, печать на А4.
ОткрытьТаблица истинностиПостроить таблицу истинности по логическому выражению: ¬, ∧, ∨, ⊕, →, ≡ или слова И, ИЛИ, НЕ, промежуточные столбцы, СДНФ и СКНФ, фильтр F = 1 для задач ЕГЭ.
ОткрытьТаблица синусов и косинусовЗначения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов 0–360° в градусах и радианах: точные с корнями и десятичные, единичная окружность и калькулятор любого угла.
ОткрытьЕщё инструменты для математики
Проценты и пропорции, дроби, степени и корни, логарифмы, НОД и НОК, уравнения, средние и разброс, площади фигур — в разделе 64 инструмента.